Mitä sqrt (3 + i) vastaa + bi-muodossa?

Vastaus:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) #

Olettaa # (a + bi) ^ 2 = 3 + i #

# (a + bi) ^ 2 = (a ^ 2-b ^ 2) + 2abi #

Joten yhtäläiset todelliset ja kuvitteelliset osat saadaan:

# a ^ 2-b ^ 2 = 3 #

# 2ab = 1 #

Siten #b = 1 / (2a) #, jonka voimme korvata ensimmäiseksi yhtälöksi saadaksesi:

# 3 = a ^ 2- (1 / (2a)) ^ 2 = a ^ 2-1 / (4a ^ 2) #

Kerro molemmat päät # 4 a ^ 2 # saada:

# 12 (a ^ 2) = 4 (a ^ 2) ^ 2-1 #

Niin:

# 4 (a ^ 2) ^ 2-12 (a ^ 2) -1 = 0 #

Saamme neliökaavasta:

# a ^ 2 = (12 + -sqrt (12 ^ 2 + 16)) / 8 = (12 + -sqrt (160)) / 8 = (3 + -sqrt (10)) / 2 #

Siitä asti kun #sqrt (10)> 3 #, Valitse #+# merkki saada todelliset arvot # A #:

#a = + -sqrt ((sqrt (10) +3) / 2) #

#b = + -sqrt (a ^ 2-3) = + -sqrt ((sqrt (10) -3) / 2) #

missä # B # on sama merkki kuin # A # siitä asti kun #b = 1 / (2a) #

Tärkein neliöjuuri on Q1: ssä #a, b> 0 #

Tuo on:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) #

Itse asiassa, jos #c, d> 0 # sitten voimme samoin näyttää:

#sqrt (c + di) = (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) + c) / 2)) + (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) -c) / 2)) i #