Mikä on sqrt: n neliöjuuri ((y ^ 2 - z ^ 2) (z ^ 2 - x ^ 2)) + sqrt ((z ^ 2 - x ^ 2) (x ^ 2 - y ^ 2)) + sqrt ((x ^ 2 - y ^ 2) (y ^ 2 - z ^ 2))?

Mikä on sqrt: n neliöjuuri ((y ^ 2 - z ^ 2) (z ^ 2 - x ^ 2)) + sqrt ((z ^ 2 - x ^ 2) (x ^ 2 - y ^ 2)) + sqrt ((x ^ 2 - y ^ 2) (y ^ 2 - z ^ 2))?
Anonim

Vastaus:

sqrt (2) / 2 (sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2))

vähintään kaksi seuraavista pidoista:

x ^ 2> = y ^ 2 "" y ^ 2> = z ^ 2 "" z ^ 2> = x ^ 2

Selitys:

Ota huomioon, että:

(X ^ 2-y ^ 2) + (y ^ 2-z ^ 2) + (z ^ 2-x ^ 2)

= väri (punainen) (peruuta (väri (musta) (x ^ 2))) - väri (punainen) (peruuta (väri (musta) (x ^ 2))) + väri (violetti) (peruuta (väri (musta)) (y ^ 2))) - väri (violetti) (peruuta (väri (musta) (y ^ 2))) + väri (violetti) (peruuta (väri (musta) (z ^ 2))) - väri (violetti) (peruuta (väri (musta) (z ^ 2))) = 0

Katsokaamme siis, mitä tapahtuu, kun neliö:

sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)

kun neliön ehdot peruutetaan …

(Sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) ^ 2

= (Sqrt (x ^ 2-y ^ 2)) ^ 2 + (sqrt (y ^ 2-z ^ 2)) ^ 2 + (sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) ^ 2 + 2sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + 2sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + 2sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2))

= Väri (punainen) (peruuta (väri (musta) ((x ^ 2-y ^ 2) + (y ^ 2-z ^ 2) + (z ^ 2-x ^ 2)))) + 2sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + 2sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + 2sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2))

= 2 (sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)))

Niinpä haluamasi neliöjuuri on:

sqrt (2) / 2 (sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2))

väri valkoinen)()

Huomautuksia

Yllä oleva vastaus olettaa, että:

sqrt (a) sqrt (b) = sqrt (ab)

Vaikka tämä pitää yllä, jos ainakin yksi niistä a, b on ei-negatiivinen, se epäonnistuu, jos molemmat ovat negatiivisia.

Tämä voi tapahtua edellä mainitussa johdannossa, jos esimerkiksi:

0 <x ^ 2 <y ^ 2 <z ^ 2

Sitten löydämme:

sqrt (x ^ 2-y ^ 2) sqrt (y ^ 2-z ^ 2) = -sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2))

… vastakkainen merkki siitä, mitä tarvitsemme.