Vastaus:
#= 6 # kuutiometriä
Selitys:
normaali vektori on #((2),(3),(1))# joka osoittaa oktaanin 1 suuntaan, joten kyseinen määrä on tason alapuolella ja lokakuussa 1
voimme kirjoittaa koneen uudelleen #z (x, y) = 6 - 2x - 3y #
varten #z = 0 # meillä on
- # z = 0, x = 0 tarkoittaa y = 2 #
- # z = 0, y = 0 tarkoittaa x = 3 #
ja
- - # x = 0, y = 0 tarkoittaa z = 6 #
se on näin:
tarvitsemamme määrä on
#int_A z (x, y) dA #
# = int_ (x = 0) ^ (3) int_ (y = 0) ^ (2 - 2/3 x) 6 - 2x - 3y dx
# = int_ (x = 0) ^ (3) 6y - 2xy - 3 / 2y ^ 2 _ (y = 0) ^ (2 - 2/3 x) t
# = int_ (x = 0) ^ (3) 6 (2-2 / 3 x) - 2x (2-2 / 3 x) - 3/2 (2-2 / 3 x) ^ 2 _ (y = 0) ^ (2 - 2/3 x) x #
# = int_ (x = 0) ^ (3) 12-4 x - 4x + 4/3 x ^ 2 - 6 - 2/3 x ^ 2 + 4x
# = int_ (x = 0) ^ (3) 6- 4 x + 2/3 x ^ 2 x #
# = 6x- 2 x ^ 2 + 2/9 x ^ 3 _ (x = 0) ^ (3) #
#= 18- 18 + 54/9 #
#= 6 #
Vastaus:
6
Selitys:
Aiomme suorittaa kolminkertaisen integraalin.
Karteesinen koordinaattijärjestelmä on kaikkein sopivin. Integroinnin järjestys ei ole kriittinen. Aiomme mennä z ensin, y keskellä, x viimeiseksi.
#underline ("Rajojen määrittäminen") #
Lentokoneessa #z = 6 - 2x - 3y # ja koordinaattitasolla #z = 0 # siten
# z: 0 rarr 6 - 2x - 3y #
Pitkin # Z = 0 #, # Y # menee 0: sta # 3y = 6 - 2x # siten
#y: 0 rarr 2 - 2 / 3x #
Pitkin # y = 0, z = 0 # siten
#x: 0 rarr 3 #
Me löydämme äänen niin #f (x, y, z) = 1 #. Integroitu tulee
# Int_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3x) int_0 ^ (6-2x-3v) dzdydx #
# = Int_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3x) z _0 ^ (6-2x-3v) dydx #
# = Int_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3x) (6-2x-3v) dydx #
# = int_0 ^ 3 6y-2xy - 3 / 2y ^ 2 _0 ^ (2-2 / 3x) dx #
# = int_0 ^ 3 (6 (2-2 / 3x) - 2x (2-2 / 3x) - 3/2 (2-2 / 3x) ^ 2) dx #
# = int_0 ^ 3 (12 - 4x - 4x + 4 / 3x ^ 2 - 3/2 (4 - 8 / 3x + 4 / 9x ^ 2)) dx #
# = int_0 ^ 3 (12 - 8x + 4 / 3x ^ 3 - 6 + 4x - 2 / 3x ^ 2) dx #
# = int_0 ^ 3 (6 - 4x + 2 / 3x ^ 2) dx #
# = 6x - 2x ^ 2 + 2 / 9x ^ 3 _0 ^ 3 #
#=6(3) - 2(3)^2 +2/9(3)^3 #
#=6#
