Vastaus:
Katso selitys
Selitys:
On helppo nähdä se
# X ^ 4-18x ^ 2 + 81 = (x ^ 2) ^ 2-2 * 9 * x ^ 2 + 9 ^ 2 = 0 => (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 #
Siksi meillä on se # (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 => x ^ 2-9 = 0 => x = 3 tai x = -3 #
Ole tietoinen siitä, että juuret ovat # X_1 = 3, x_2 = -3 # olla moninaisia #2#
koska meillä on neljännen asteen polynomi.
Vastaus:
#x = + -3 #
Selitys:
Normaalisti 4 asteen polynomin ratkaisemiseksi, kuten täällä, sinun täytyy tehdä synteettistä jakoa ja käyttää paljon teoreemeja ja sääntöjä - se saa varsin sotkuista. Tämä on kuitenkin erityinen, koska voimme todellakin tehdä siitä kvadratiivisen yhtälön.
Teemme tämän vuokraamalla #u = x ^ 2 #. Älä huoli siitä, missä # U # tuli; se on vain jotain, jota käytämme ongelman yksinkertaistamiseksi. Kanssa #u = x ^ 2 #, ongelma tulee
# u ^ 2-18u + 81 = 0 #.
Eikö se näytä paremmalta? Nyt käsittelemme mukavaa, helppoa neliöyhtälöä. Itse asiassa tämä on täydellinen neliö; toisin sanoen, kun teet sen, saat # (U-9) ^ 2 #. Tietenkin voisimme käyttää kvadraattista kaavaa tai täyttää neliön ratkaistaaksesi tämän yhtälön, mutta et yleensä ole onnekas, että sinulla on täydellinen neliön neliö - niin hyödyntää. Tässä vaiheessa meillä on:
# (u-9) ^ 2 = 0 #
Ratkaisemiseksi otamme molempien puolien neliöjuuren:
#sqrt ((u-9) ^ 2) = sqrt (0) #
Ja tämä yksinkertaistuu
# u-9 = 0 #
Lopuksi lisäämme 9 molemmille osapuolille
#u = 9 #
Mahtava! Melkein siellä. Alkuperäinen ongelma on kuitenkin # X #s ja vastauksemme on a # U # sen sisällä. Meidän täytyy muuntaa #u = 9 # osaksi #x = # jotain. Mutta älä pelkää! Muistakaa alussa, että sanoimme anna #u = x ^ 2 #? No nyt, kun meillä on # U #, me vain liitämme sen takaisin löytääksemme # X #. Niin, #u = x ^ 2 #
# 9 = x ^ 2 #
#sqrt (9) = x #
#x = + -3 # (koska #(-3)^2 = 9# ja #(3)^2 = 9#)
Siksi ratkaisumme ovat #x = 3 # ja #x = -3 #. Ota huomioon, että #x = 3 # ja #x = -3 # ovat kaksinkertaisia juuria, joten teknisesti kaikki juuret ovat #x = 3 #, #x = 3 #, #x = -3 #, #x = -3 #.
