Mikä on yleinen kaava n: n polynomin syrjivälle?

Vastaus:

Katso selitys …

Selitys:

Polynomin syrjivä #F (x) # astetta # N # voidaan kuvata Sylvester-matriisin määrittäjänä #F (x) # ja #f '(x) # seuraavasti:

Ottaen huomioon:

#f (x) = a_nx ^ n + a_ (n-1) x ^ (n-1) + … + a_1x + a_0 #

Meillä on:

#f '(x) = na_ (n-1) x ^ (n-1) + (n-1) a_ (n-1) x ^ (n-2) + … + a_1 #

Sylvesterin matriisi #F (x) # ja #f '(x) # on # (2n-1) xx (2n-1) # matriisi muodostetaan käyttäen niiden kertoimia, samanlainen kuin seuraava esimerkki # N = 4 # …

# ((a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0, 0), (0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, 0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0), (4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0, 0), (0,4a_4,3a_3,2a_2, a_1,0,0), (0, 0, 4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 0, 4a_4,3a_3,2a_2, a_1)) #

Sitten syrjivä #Delta# annetaan Sylvester-matriisin determinanttina kaavalla:

#Delta = (-1) ^ (1 / 2n (n-1)) / a_nabs (S_n) #

varten # N = 2 # meillä on:

#Delta = (-1) / a_2abs ((a_2, a_1, a_0), (2a_2, a_1,0), (0,2a_2, a_1) = a_1 ^ 2-4a_2a_0 #

(jonka saatat tuntea paremmin tunnistetussa muodossa #Delta = b ^ 2-4ac #)

varten # N = 3 # meillä on:

#Delta = (-1) / a_3abs ((a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, a_3, a_2, a_1, a_0), (3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0), (0, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 3a_3, 2a_2, a_1))

#color (valkoinen) (Delta) = a_2 ^ 2a_1 ^ 2-4a_3a_1 ^ 3-4a_2 ^ 3a_0-27a_3 ^ 2a_0 ^ 2 + 18a_3a_2a_1a_0 #

Quadraticsin syrjivät (# N = 2 #) ja kuutiot (# N = 3 #) ovat kaikkein hyödyllisimpiä siinä, että he kertovat sinulle, kuinka monta todellista, toistuvaa tai ei-todellista monimutkaista nollia on polynomilla.

Erottelijan tulkinta korkeamman asteen polynomeille on rajoitetumpi, mutta sillä on aina sellainen ominaisuus, että polynomi on toistanut nollia, jos ja vain jos syrjivä on nolla.

#väri valkoinen)()#

Lue lisää

Katso