Vastaus:
Ei ratkaisuja # RR #.
Selitys:
Ensinnäkin yksinkertaistetaan hieman:
Kuten # E ^ x # ja #ln (x) # ovat käänteisiä toimintoja, # e ^ ln (x) = x # pitää samoin kuin #ln (e ^ x) = x #. Tämä tarkoittaa, että voit yksinkertaistaa kolmannen logaritmisen termisi:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 ((1 / x) / 3) = 4/3 #
# <=> log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Seuraava tavoite on tuoda kaikki # Log # toimii samalla pohjalla niin, että sinulla on mahdollisuus käyttää logaritmia koskevia sääntöjä ja yksinkertaistaa niitä.
Voit muuttaa logaritmialustaa seuraavasti:
#log_a (x) = log_b (x) / log_b (a) #
Käyttäkäämme tätä sääntöä, jos haluat muuttaa perustaa #8# of # Log_8 # ja pohja #32# of # Log_32 # tukikohtaan #2#:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> (log_2 (1-x)) / (log_2 (8)) + (10 log_2 (x)) / (3 log_2 (32)) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Nyt voimme laskea # log_2 (8) = 3 # ja # log_2 (32) = 5 #
(jos ei ole selvää, anna minun murtaa se vain varmistaakseni: # log_2 (8) = x <=> 2 ^ (log_2 (8)) = 2 ^ x <=> 8 = 2 ^ x <=> 2 ^ 3 = 2 ^ x #)
Tämä johtaa seuraavaan yksinkertaisempaan, logaritmiseen yhtälöön:
# (log_2 (1-x)) / 3 + (10 log_2 (x)) / (3 * 5) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> 1/3 log_2 (1-x) + 2/3 log_2 (x) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
… moninkertaistaa molemmat puolet #3#…
# <=> log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
Nyt olemme valmiita käyttämään logaritmin sääntöjä:
#log_a (x * y) = log_a (x) + log_a (y) # ja #log_a (x ^ y) = y * log_a (x) #
Tavoitteena on vain yksi # Log # termi vasemmalla puolella. Tehdään se.:)
# log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 ((1 / (3x)) ^ (- 3)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 (27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 ((1-x) * x ^ 2 * 27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
Tässä vaiheessa voimme päästä eroon # Log_2 (a) # käyttämällä käänteisfunktiota # 2 ^ a # yhtälön molemmille puolille.
# log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
# <=> 2 ^ (log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6)) = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 16 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 = 16/27 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 = 0 #
Valitettavasti minun on myönnettävä, että olen jumissa tällä hetkellä, koska en tiedä miten ratkaista tämä yhtälö.
Kuitenkin piirtäminen #f (x) = - x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 # kertoo minulle, että tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja # RR #.
kaavio {- x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 -9.63, 10.37, -4.88, 5.12}
Toivon, että tämä auttoi hieman!
