Miten tekijä cos ^ 2 x + 7 cos x + 8?

Vastaus:

# 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #

Ensimmäinen anna # T = cosx #.

# Y = t ^ 2 + 7t + 8 #

Noudattakaa nyt neliö, jotta voit tehdä tämän.

# Y = (t ^ 2 + 7t) + 8 #

Ota huomioon, että # (T + 7/2) ^ 2 = (t + 7/2) (t + 7/2) #

# = T ^ 2 + 7 / 2t + 7 / 2t + (7/2) ^ 2 #

# = T ^ 2 + 7t + 49/4 #

Joten haluamme lisätä #49/4# ilmaisuun ja vähennä se takaisin.

# Y = (t ^ 2 + 7t + 49/4) + 8-49 / 4 #

Ota huomioon, että #8-49/4=32/4-49/4=-17/4#.

# Y = (t + 7/2) ^ 2-17 / 4 #

Huomaa nyt # 17/4 = (sqrt17 / 2) ^ 2 #.

# Y = (t + 7/2) ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2 #

Nyt meillä on erotus neliöissä ja se voi vaikuttaa siihen.

#y = (t + 7/2) + sqrt17 / 2 (t + 7/2) -sqrt17 / 2 #

# Y = (cosx + (7 + sqrt17) / 2) (cosx + (7-sqrt17) / 2) #

Jos haluamme, voimme tuoda yhteisen tekijän #1/2# jokaisesta osasta:

# Y = 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #

# (cos (x) + fr {7 + qrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - qqr (17)} {2}) #

päästää # u = cos (x) #

Kysymys tulee sitten:

Tekijä # U ^ 2 + 7U- + 8 # voit käyttää vain neliökaavaa, ts. # u = fr {-b} pmq (b ^ 2-4ac)} {2a} #

tai voit tehdä sen pitkällä tiellä (mikä ei ole mitään parempaa kuin kaava, itse asiassa se on yksi menetelmistä, joilla muotoillaan neliökaava):

löytää kaksi juuria, # r_1 # ja # r_2 # niin että # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #

Laajentaa: # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 - r_1u - r_2u + (r_1) (r_2) #

# = u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) #

Täten: # u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #

ja siksi: # - (r_1 + r_2) = 7 # ja # (r_1) (r_2) = 8 #

# (r_1 + r_2) = -7, (r_1 + r_2) ^ 2 = 49 #

# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 49 #

# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 - 4 (r_1) (r_2) = 49 - 4 (8) = 17 #

# (r_1) ^ 2 - 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 17 #

# (r_1-r_2) ^ 2 = 17 #

# r_1-r_2 = qrt (17) #

# fr {r_1 + r_2 + r_1-r_2} {2} = r_1 = fr {-7 + qrt (17)} {2} #

# fr {r_1 + r_2 - (r_1-r_2)} {2} = r_2 = fr {-7 - qrt (17)} {2} #

Täten laskettu muoto on # (u + fr {7 + qrt (17)} {2}) (u + fr {7 - qrt (17)} {2}) #

sub # u = cos (x) # saada:

# (cos (x) + fr {7 + qrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - qqr (17)} {2}) #