Kysymys # 0df97

Vastaus:

Vastaus on 4 # E ^ -2 #.

Selitys:

Ongelma on:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Nyt tämä on vaikea ongelma. Ratkaisu on hyvin varovainen mallin tunnistaminen. Voit muistaa määritelmän # E #:

# E = lim_ (U> oo) (1 + 1 / u) ^ u ~~ 2,718 … #

Jos voisimme kirjoittaa rajan uudelleen lähelle määritelmää # E #, meillä olisi vastauksemme. Joten, yritetään.

Ota huomioon, että #lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) # vastaa:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4-2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Voimme jakaa jakeet näin:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4) / (2x + 4) -2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = Lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Me pääsemme sinne! Let's tekijä ulos #-2# ylhäältä ja alhaalta:

#lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = Lim_ (x-> oo) (1 + ((- 2)) / (- 2 (-x-2))) ^ (2x + 2) #

# -> lim_ (x-> oo) (1+ (peruuta (-2)) / (peruuta (-2) (- X-2))) ^ (2x + 2) #

# = Lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- X-2)) ^ (2x + 2) #

Sovellamme korvaamista # U = -x-2-> x = -2-u #:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- X-2)) ^ (2x + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (2 (-2-u) + 2 #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 4-2u + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) #

Eksponenttien ominaisuudet kertovat: # X ^ (a + b) = x ^ ax ^ b #

Niin #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2U-2) # vastaa:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Eksponenttien ominaisuudet kertovat myös, että: # X ^ (ab) = x ^ (a ^ b) #

Mikä tarkoittaa, että tämä vähentää edelleen:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = Lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Määritelmän mukaan #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (u) = e #; ja käyttämällä suoraa korvaamista toisessa rajatuotannossa:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = 1 / (1 + 1 / oo) ^ (2) #

#=1/(1+0)^(2)#

#=1/1^(2)=1#

Joten ratkaisu on …

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = (E) ^ - 2 (1) #

# = E ^ -2 #