Vastaus:
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) varten #b RR: ssä
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8)) # varten #b = | b | e ^ (itheta) CC: ssä
Selitys:
Algebran perustavanlaatuisella teoreemalla voimme tekijä antaa lausekkeen
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 1) ^ 8 (a-alpha_k) #
missä kukin # Alpha_k # on juuri # X ^ 8 + b ^ 8 #.
Ratkaisu # Alpha_k #, saamme
# x ^ 8 + b ^ 8 = 0 #
# => x ^ 8 = -b ^ 8 #
# => x = (-b ^ 8) ^ (1/8) #
# = | B | (-1) ^ (1/8) # (olettaen #b RR: ssä)
# = | B | (e ^ (i (pi + 2pik))) ^ (1/8) #
# = | b | e ^ (ipi ((2k + 1) / 8), k ZZ: ssä
Kuten #k {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} # kirjaa kaikki tämän lomakkeen ainutlaatuiset arvot, saamme tekijöistämme sellaisenaan #b RR: ssä
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8))
Yleisemmäksi #b CC: ssä, sitten oletetaan #b = | b | e ^ (itheta) #, voimme löytää samanlaisia laskelmia
# (- b ^ 8) ^ (1/8) = | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8)) #
merkitys
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8)) #
Valitettavasti unohdan joitakin pieniä yksityiskohtia, lähettäjän antama vastaus on oikea.
Olettakaamme, #b ne 0 # ja # a, b RR: ssä meillä on
# (a / b) ^ 8 = -1 = e ^ (ipi + 2kpi) # sitten
# A / b = e ^ (i (2k + 1) pi / 8) # sitten
# a-b e ^ (i (2k + 1) pi / 8) = 0 # ovat # K = 0,1, cdots, 7 # juuret tai tekijät.
Määritellä
#p (k) = a-be ^ (i (2k + 1) pi / 8) #
ja sitten
# f_1 = p (1) p (6) = a ^ 2 - (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_2 = p (2) p (5) = a ^ 2 + (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_3 = p (3) p (4) = a ^ 2 + (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_4 = p (0) p (7) = a ^ 2 - (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
niin
# a ^ 8 + b ^ 8 = f_1 f_2 f_3 f_4 # todellisia kertoimia.
