Mikä on parabolan yhtälö, jossa on tarkennus (-15, -19) ja y = -8 suuntaussuhde?

Vastaus:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

Selitys:

Koska suora on vaakasuora viiva, tiedämme, että parabola on pystysuunnassa (avautuu joko ylös tai alas). Koska tarkennuksen y-koordinaatti (-19) on suorakaiteen (-8) alapuolella, tiedämme, että parabola avautuu. Tämän tyyppisen parabolan yhtälön huippumuoto on:

#y = 1 / (4f) (x - h) ^ 2 + k "1" #

Jos h on pikselin x koordinaatti, k se vertexin koordinoima y ja polttoväli f, on puolet allekirjoitetusta etäisyydestä suorakulmiosta fokusointiin:

#f = (y _ ("tarkennus") - y _ ("directrix")) / 2 #

#f = (-19 - -8) / 2 #

#f = -11 / 2 #

Pisteen y-koordinaatti, k on f plus suoran y: n koordinaatti:

# k = f + y _ ("directrix") #

#k = -11 / 2 + -8 #

#k = (-27) / 2 #

Pisteen x-koordinaatti, h, on sama kuin tarkennuksen x-koordinaatti:

#h = -15 #

Näiden arvojen korvaaminen yhtälöksi 1:

#y = 1 / (4 (-11/2)) (x - -15) ^ 2 + (-27) / 2 #

Yksinkertaistaminen:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

Vastaus:

# X ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

Selitys:

Parabola on kohdan piste, joka liikkuu niin, että sen etäisyys linjasta, nimeltään directix, ja piste, jota kutsutaan tarkennukseksi, ovat yhtä suuret.

Tiedämme, että kahden pisteen välinen etäisyys # (X_1, y_1) # ja # X_2, y_2) # on antanut #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # ja

pisteiden välinen etäisyys # (X_1, y_1) # ja linja # Ax + by + c = 0 # on # | Ax_1 + by_1 + c | / (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Nyt etäisyys pisteestä # (X, y) # parabolasta kohdasta #(-15,-19)# on #sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) #

ja sen etäisyys suorakaistasta # Y = -8 # tai # Y + 8 = 0 # on # | Y + 8 | / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) = | y + 8 | #

Näin ollen parabolan yhtälö olisi

#sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) = | y + 8 | # tai

# (X + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2 = (y + 8) ^ 2 # tai

# X ^ 2 + 30x + 225 + y ^ 2 + 38y + 361 = y ^ 2 + 16y + 64 # tai

# X ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

kaavio {x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 -56.5, 23.5, -35.28, 4.72}