Vastaus:
a)# X = 2 #
b) katso alla
Selitys:
a) Koska kolme ensimmäistä termiä ovat #sqrt x-1 #, 1 ja #sqrt x + 1 #keskipitkällä aikavälillä 1 on oltava kahden muun geometrinen keskiarvo. Siten
# 1 ^ 2 = (sqrt x-1) (sqrt x +1) tarkoittaa #
# 1 = x-1 tarkoittaa x = 2 #
b)
Yhteinen suhde on sitten #sqrt 2 + 1 #, ja ensimmäinen termi on #sqrt 2-1 #.
Näin ollen viides termi on
# (sqrt 2-1) kertaa (sqrt 2 + 1) ^ 4 = (sqrt 2 + 1) ^ 3 #
#qquad = (sqrt 2) ^ 3 + 3 (sqrt2) ^ 2 + 3 (sqrt2) + 1 #
# qquad = 2sqrt2 + 6 + 3sqrt2 + 1 #
#qquad = 7 + 5sqrt2 #
Vastaus:
Katso alla.
Selitys:
Olettaen että, # Rarrsqrtx-1,1, sqrtx + 1 # ovat # GP #.
Niin, #rarr (sqrtx-1) / 1 = 1 / (sqrtx + 1) #
#rarr (sqrtx-1) ^ 2 = 1 #
#rarr (sqrtx) ^ 2-1 ^ 2 = 1 #
# Rarrx = 2 #
Ensimmäinen termi # (A) = sqrtx-1 = sqrt2-1 #
Toinen termi # (B) = 1 #
Yhteinen suhde # (R) = b / a = 1 / (sqrt2-1) = sqrt2 + 1 #
# N ^ (th) # geometrisen sekvenssin termi # (T_n) = a * r ^ (n-1) #
Niin, # T_5 = (sqrt2-1) * (sqrt2 + 1) ^ (5-1) #
# = (Sqrt2-1) (sqrt2 + 1) (sqrt2 + 1) ^ 3 #
# = (Sqrt2) ^ 2-1 ^ 2 (sqrt2) ^ 3 + 3 * (sqrt2 ^ 2) * 1 + 3 * sqrt2 * 1 ^ 2 + 1 ^ 3 #
# = (2-1) (2sqrt2 + 6 + 3sqrt2 + 1) = 7 + 5sqrt2 #
Vastaus:
# x = 2 ja 5 ^ (th) "termi" = 7 + 5sqrt2 #.
Selitys:
varten minkä tahansa #3# peräkkäin # A, b, c # a GP, meillä on, # B ^ 2 = ac #.
Siksi meidän tapauksessa # 1 ^ 2 = (sqrtx-1) (sqrtx + 1) = (sqrtx) ^ 2-1 ^ 2, #
#, ts. 1 = x-1, tai x = 2 #.
Kanssa # X = 2 #, # 1 ^ (st) ja 2 ^ (nd) # ehdot GP alla
viittaukset ovat # sqrtx-1 = sqrt2-1 ja 1 #, resp.
Joten yhteinen suhde # r = (2 ^ (nd) "termi)" -:(1 ^ (st) "termi" ", # = 1 / (sqrt2-1) = sqrt2 + 1 #.
#:. 4 ^ (th) "termi = r (" 3 ^ (rd) "termi) = (sqrt2 + 1) (sqrtx + 1) #, # = (Sqrt2 + 1) (sqrt2 + 1) #, # = 2 + 2sqrt2 + 1 #, # = 3 + 2sqrt2 #.
Edelleen, # (5 ^ (th) "termi) = r (" 4 ^ (th) termi) #, # = (Sqrt2 + 1) (3 + 2sqrt2) #,
# = 3sqrt2 + 3 + 2sqrt2 * sqrt2 + 2sqrt2 #.
# rArr 5 ^ (th) "termi" = 7 + 5sqrt2 #.
