Olkoon 5a + 12b ja 12a + 5b suorakulmaisen kolmion sivupituudet ja 13a + kb on hypotenus, jossa a, b ja k ovat positiivisia kokonaislukuja. Miten löydät k: n pienimmän mahdollisen arvon ja pienimmät arvot a ja b kyseiselle k: lle?

Vastaus:

#k = 10 #, # A = 69 #, # B = 20 #

Selitys:

Pythagoras-lauseella meillä on:

# (13a + kb) ^ 2 = (5a + 12b) ^ 2 + (12a + 5b) ^ 2 #

Tuo on:

# 169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^ 2 #

#color (valkoinen) (169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2) = 169a ^ 2 + 240ab + 169b ^ 2 #

Vähennä vasemmalta puolelta molemmista päistä:

# 0 = (240-26k) ab + (169-k ^ 2) b ^ 2 #

#color (valkoinen) (0) = b ((240-26k) a + (169-k ^ 2) b) #

Siitä asti kun #b> 0 # me vaadimme:

# (240-26k) a + (169-k ^ 2) b = 0 #

Sitten sitten #a, b> 0 # me vaadimme # (240-26k) # ja # (169-k ^ 2) # olla vastakkaisia merkkejä.

Kun #k kohdassa 1, 9 # molemmat # 240-26k # ja # 169-k ^ 2 # ovat positiivisia.

Kun #k kohdassa 10, 12 # löydämme # 240-26k <0 # ja # 169-k ^ 2> 0 # tarvittaessa.

Joten mahdollisimman pieni arvo # K # on #10#.

Sitten:

# -20a + 69b = 0 #

Sitten sitten #20# ja #69# ei ole yhteistä tekijää suurempi kuin #1#, vähimmäisarvot # A # ja # B # olemme #69# ja #20# vastaavasti.