Todista, että funktiolla ei ole rajoitusta x_0 = 0? + Esimerkki

Vastaus:

Katso selitys.

Selitys:

Heinen määritelmän mukaan funktiorajalla on:

#lim_ {x-> x_0} f (x) = g iff #

#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n) = g) #

Joten osoittaa, että toiminnolla on EI raja on # X_0 # meidän on löydettävä kaksi sekvenssiä # {X_n} # ja # {Bar (x) _n} # näin

#lim_ {n -> + oo} x_n = lim_ {n -> + oo} bar (x) _n = x_0 #

ja

#lim_ {n -> + oo} f (x_n)! = lim_ {n -> + oo} f (bar (x) _n) #

Tässä esimerkissä tällaiset sekvenssit voivat olla:

# X_n = 1 / (2 ^ n) # ja #bar (x) _n = 1 / (3 ^ n) #

Molemmat sekvenssit yhtyvät # X_0 = 0 #, mutta funktion kaavan mukaan meillä on:

#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)

koska kaikki elementit # X_n # ovat #1,1/2,1/4,…#

ja varten #bar (x) _N # meillä on:

#f (bar (x) _1) = f (1) = 2 #

mutta kaikille #n> = 2 # meillä on: #f (bar (x) _n) = 1 #

Joten #n -> + oo # meillä on:

#lim_ {n -> + oo} f (bar (x) _n) = 1 # (**)

Molemmat sekvenssit peittävät # X_0 = 0 #, mutta rajat (*) ja (**) ovat EI sama, joten raja #lim_ {x-> 0} f (x) # ei ole olemassa.

QED

Raja-määritelmä on Wikipediassa osoitteessa:

Vastaus:

Tässä on todiste raja-arvon olemassaolon määrittelyn kieltämisestä.

Selitys:

Lyhyt versio

#F (x) # ei voi lähestyä yhtä numeroa # L # koska missä tahansa #0#, toiminto # F # ottaa arvot, jotka eroavat toisistaan #1#.

Joten riippumatta siitä, mitä joku ehdottaa # L #, on pisteitä # X # lähellä #0#, missä #F (x) # on ainakin #1/2# yksikkö poispäin # L #

Pitkä versio

#lim_ (xrarr0) f (x) # olemassa ja vain, jos

on numero, # L # sellainen kaikille #epsilon> 0 #, Tuolla on #delta> 0 # niin että kaikille # X #, # 0 <abs (x) <delta # viittaa #abs (f (x) -L) <epsilon #

Tämän kieltäminen on:

#lim_ (xrarr0) f (x) # ei ole olemassa vain, jos

jokaiselle numerolle # L # siellä on #epsilon> 0 #, niin että kaikille #delta> 0 # siellä on # X #, niin että # 0 <abs (x) <delta # ja #abs (f (x) -L)> = epsilon #

Numero on annettu # L #, Annan #epsilon = 1/2 # (pienempi # Epsilon # toimii myös)

Nyt annetaan positiivinen #delta#Minun on osoitettava, että on olemassa # X # kanssa # 0 <absx <delta # ja #abs (f (x) -L)> = 1/2 # (muista tuo #epsilon = 1/2 #)

Myönteinen #delta# lopulta # 1/2 ^ n <delta # niin on olemassa # X_1 # kanssa #f (x_1) = 2 #.

On myös elementti # x_2 RR- {1, 1/2, 1/4,… } # kanssa # 0 <x_2 <delta # ja #f (x_2) = 1 #

Jos #L <= (1/2) #sitten #abs (f (x_1) -L)> = 1/2 #

Jos #L> = (1/2) #sitten #abs (f (x_2) -L)> = 1/2 #