Olkoon G syklinen ryhmä ja G = 48. Miten löydät kaikki G: n alaryhmät?

Vastaus:

Alaryhmät ovat kaikki syklisiä ja tilausten jakaminen #48#

Selitys:

Kaikki syklisen ryhmän alaryhmät ovat itse syklisiä, ja tilaukset ovat ryhmän järjestyksen jakajia.

Voit nähdä, miksi # G = <a> # on syklinen järjestyksessä # N # ja #H sube G # on alaryhmä.

Jos # a ^ m H: ssa ja # a ^ n H: ssä, niin on # ^ (Pm + qn) # kaikki kokonaisluvut #p, q #.

Niin # a ^ k in H # missä #k = GCF (m, n) # ja molemmat # ^ M # ja # ^ N # ovat # <a ^ k> #.

Erityisesti, jos # a ^ k in H # kanssa #GCF (k, N) = 1 # sitten #H = <a> = G #.

Ei myöskään, jos #mn = N # sitten # <a ^ m> # on alaryhmä # G # järjestyksessä # N #.

Voimme päätellä:

• # H # on enintään #1# generaattori.
• Järjestys # H # on tekijä # N #.

Esimerkissä #N = 48 # ja alaryhmät ovat isomorfisia:

# C_1 #, # C_2 #, # C_3 #, # C_4 #, # C_6 #, # C_8 #, # C_12 #, # C_16 #, # C_24 #, # C_48 #

ovat:

#< >#, # <a ^ 24> #, # <a ^ 16> #, # <a ^ 12> #, # <a ^ 8> #, # <a ^ 6> #, # <a ^ 4> #, # <a ^ 3> #, # <a ^ 2> #, # <a> #