Todista, että numero sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) ei ole järkevä kaikille luonnollisille numeroille n, jotka ovat suurempia kuin 1?

Vastaus:

Katso selitys …

Selitys:

Olettaa:

#sqrt (1 + sqrt (2 + … + sqrt (n))) # on järkevä

Sitten sen neliön on oltava järkevä, ts.:

# 1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) #

ja näin ollen on:

#sqrt (2 + sqrt (3 + … + sqrt (n))) #

Voimme toistuvasti neliön ja vähentää, että seuraavat on oltava järkeviä:

# {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), (sqrt (n)):} #

Siten # N = k ^ 2 # joitakin positiivisia kokonaislukuja #k> 1 # ja:

#sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

Ota huomioon, että:

# k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 #

Siten # K ^ 2 + k-1 # ei ole myöskään kokonaisluvun neliö ja #sqrt (k ^ 2 + k-1) # on järjetöntä, ristiriidassa väitteemme kanssa #sqrt (n-1 + sqrt (n)) # on järkevä.

Vastaus:

Katso alempaa.

Selitys:

mikäli

#sqrt (1 + sqrt (2 + cdots + sqrt (n))) = p / q # kanssa # P / q # meillä ei ole vähennyskelpoista

#sqrtn = (cdots (((p / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdots - (n-1)) = P / Q #

mikä on järjetön, koska tämän tuloksen mukaan mikä tahansa positiivisen kokonaisluvun neliöjuuri on järkevä.