Anna olla N pienin kokonaisluku, jossa on 378 jakajaa. Jos N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d, mikä on arvo {a, b, c, d} NN: ssä?

Vastaus:

# (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #

#N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19 051 200 #

Selitys:

Numero on annettu # N # kanssa prime factorization #n = p_1 ^ (alpha_1) p_2 ^ (alpha_2) … p_k ^ (alpha_k) #, jokainen jakaja # N # on muotoa # P_1 ^ (beta_1) p_2 ^ (beta_2) … p_k ^ (beta_k) # missä #beta_i {0, 1, …, alpha_i} #. Kuten on # Alpha_i + 1 # valintoja # Beta_i #, jakajien lukumäärä # N # on antanut

# (Alpha_1 + 1) (alpha_2 + 1) … (alpha_k + 1) = prod_ (i = 1) ^ k (alpha_i + 1) #

Kuten # N = 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #, jakajien lukumäärä # N # on antanut # (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) = 378 #. Tavoitteenamme on siis löytää # (a, b, c, d) # niin, että yllä mainittu tuote on ja # 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d # on minimaalinen. Kun minimoimme, oletamme tästä lähtien eteenpäin #A> = b> = c> = d # (jos näin ei ole, voisimme vaihtaa eksponentteja saadaksemme pienemmän tuloksen samalla lukumäärällä jakajia).

Huomaa, että # 378 = 2xx3 ^ 3xx7 #, voimme tarkastella mahdollisia tapauksia, joissa #378# on kirjoitettu neljän kokonaisluvun tuotteena # k_1, k_2, k_3, k_4 #. Voimme tarkastaa nämä nähdäksemme, mikä tuottaa vähiten tuloksia # N #.

Muoto: # (k_1, k_2, k_3, k_4) => (a, b, c, d) => 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #

# (2, 3, 3 ^ 2, 7) => (8, 6, 2, 1) => ~ 3.3xx10 ^ 7 #

# (2, 3, 3, 3 * 7) => (20, 2, 2, 1) => ~ 1,7xx10 ^ 9 #

#color (punainen) ((3, 3, 2 * 3, 7) => (6, 5, 2, 2) => ~ 1.9xx10 ^ 7) #

# (3, 3, 3, 2 * 7) => (13, 2, 2, 2) => ~ 9,0xx10 ^ 7 #

# (1, 3, 2 * 3 ^ 2, 7) => (17, 6, 2, 0) => ~ 2.4xx10 ^ 9 #

Voimme pysähtyä täällä, koska kaikissa muissa tapauksissa on joitakin #k_i> = 27 #, antaa # 2 ^ a> = 2 ^ 26 ~~ 6.7xx10 ^ 7 #, joka on jo suurempi kuin paras tapa.

Sitten edellä mainittu työ # (a, b, c, d) # joka tuottaa minimaalisen # N # kanssa #378# jakajat ovat # (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #, antaa #N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19 051 200 #