Meillä on puolisylinterinen katto, jonka säde on r ja korkeus r asennettu neljän korkeuden h suorakulmaisen seinän päälle. Tämän rakenteen rakentamisessa käytetään 200 μm: n muovilevyä. Mikä on r: n arvo, joka sallii enimmäismäärän?

Vastaus:

# R = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 #

Selitys:

Sallikaa minun kertoa uudelleen, kun ymmärrän sen.

Edellyttäen, että tämän kohteen pinta-ala on # 200pi #, maksimoi äänenvoimakkuus.

Suunnitelma

Tietäen pinta-alaa, voimme edustaa korkeutta # H # säteen funktiona # R #, niin voimme edustaa äänenvoimakkuutta vain yhden parametrin - säteen funktiona # R #.

Tämä toiminto on maksimoitava käyttämällä # R # parametrina. Se antaa arvon # R #.

Pinta-ala sisältää:

4 seinää, jotka muodostavat sivupinnan, jossa on yhdensuuntaiset piippaukset, joissa on pohja # 6r # ja korkeus # H #, joiden kokonaispinta - ala on # 6rh #.

1 katto, puolet säteen sylinterin sivupinnasta # R # ja korkeus # R #, jossa on alue #pi r ^ 2 #

2 katon puolta, säteen puolipyöriä # R #jonka kokonaispinta-ala on #pi r ^ 2 #.

Objektin kokonaispinta-ala on

#S = 6rh + 2pi r ^ 2 #

Tietäen tämän olevan yhtä suuri # 200pi #, voimme ilmaista # H # kannalta # R #:

# 6rh + 2pir ^ 2 = 200pi #

# r = (100pi-pir ^ 2) / (3r) = (100pi) / (3r) - pi / 3r ##

Tämän esineen tilavuudella on kaksi osaa: katon alapuolella ja katon sisällä.

Katon alapuolella on yhdensuuntainen ripsi, jossa on pohja # 2r ^ 2 # ja korkeus # H #, eli sen määrä on

# V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 #

Katon sisällä on puolen sylinterin säde # R # ja korkeus # R #, sen tilavuus on

# V_2 = 1 / 2pir ^ 3 #

Meidän täytyy maksimoida toiminto

#V (r) = V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 = 200 / 3pir - 1 / 6pir ^ 3 #

joka näyttää tältä (ei mittakaavassa)

kaavio {2x-0.6x ^ 3 -5.12, 5.114, -2.56, 2.56}

Tämä toiminto saavuttaa maksiminsä, kun sen johdannainen on nolla positiivisen argumentin osalta.

#V '(r) = 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2 #

Alueen alueella #R> 0 # se on nolla, kun # R = 20 / sqrt (3) = 20sqrt (3) / 3 #.

Tämä on suurin säteen antava säde, kun otetaan huomioon kohteen pinta-ala ja muoto.