Miten int sec ^ -1x integroidaan osien menetelmällä?

Vastaus:

Vastaus on # = X "kaari" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Selitys:

Me tarvitsemme

# (S ^ -1x) '= ("kaari" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

# Intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) #

Integrointi osittain on

# Intu'v = uv-intuv '#

Tässä meillä on

# U '= 1 #, #=>#, # U = x #

# V = "kaari" secx #, #=>#, # V '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

Siksi, # int "kaari" secxdx = x "kaari" secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) #

Suorita toinen integraali korvaamalla

Päästää # X = SECU #, #=>#, # Dx = secutanudu #

#sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (s ^ 2u-1) = Tanu #

# Intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu) / (Tanu) = intsecudu #

# = Int (SECU- (SECU- + Tanu) du) / (SECU- + Tanu) #

# = int ((sek ^ 2u + secutanu) du) / (secu + tanu) #

Päästää # V = SECU- + Tanu #, #=>#, # Dv = (s ^ 2u + secutanu) du #

Niin, # Intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (dv) / (v) = LNV #

# = Ln (SECU- + Tanu) #

# = Ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) #

Lopuksi

# int "kaari" secxdx = x "kaari" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Vastaus:

#int s ^ -1 (x) x = xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Selitys:

Vaihtoehtoisesti voimme käyttää vähän tunnettua kaavaa käänteisten toimintojen integraalien kehittämiseksi. Kaava ilmoittaa:

#int f ^ -1 (x) dx = xf ^ -1 (x) -F (f ^ -1 (x)) + C #

missä # F ^ -1 (x) # on käänteinen #F (x) # ja #F (x) # on anti-johdannainen #F (x) #.

Meidän tapauksessamme saamme:

#int s ^ -1 (x) x = xsec ^ -1 (x) -F (sek ^ -1 (x)) + C #

Nyt kaikki, mitä meidän on tehtävä, on anti-johdannainen # F #, joka on tuttu sekantti-integraali:

#int s (x) dx = ln | sek (x) + tan (x) | + C #

Tämän palauttaminen kaavaan antaa lopullisen vastauksen:

#int s ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln | sek (sek ^ -1 (x)) + tan (sek ^ -1 (x)) | + C #

Meidän on oltava varovaisia yksinkertaistamisen suhteen #tan (s ^ -1 (x)) # että #sqrt (x ^ 2-1) # koska identiteetti on voimassa vain, jos # X # on positiivinen. Olemme kuitenkin onnekkaita, koska voimme korjata tämän asettamalla absoluuttisen arvon toiselle termille logaritmin sisällä. Tämä poistaa myös ensimmäisen absoluuttisen arvon tarpeen, koska kaikki logaritmin sisällä oleva arvo on aina positiivinen:

# Xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #