Mitkä ovat f (x) = xsin (1 / x) asymptootti (t) ja reikä (t), jos sellaisia on?

Vastaus:

Katso alla.

Selitys:

No, siinä on tietysti reikä # X = 0 #, koska jakaminen #0# ei ole mahdollista.

Voimme kuvata toiminnon:

kaavio {xsin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Muita asymptootteja tai reikiä ei ole.

Vastaus:

#F (x) # on reikä (irrotettava epäjatkuvuus) kohdassa # X = 0 #.

Siinä on myös horisontaalinen asymptoote # Y = 1 #.

Siinä ei ole pystysuoria tai vinoja asymptootteja.

Selitys:

Ottaen huomioon:

#f (x) = x sin (1 / x) #

Käytän muutamia ominaisuuksia #sin (t) #, nimittäin:

• #abs (sin t) <= 1 "" # kaikkien todellisten arvojen osalta # T #.

• #lim_ (-> 0) sin (t) / t = 1 #

• #sin (-t) = -sin (t) "" # kaikkien arvojen osalta # T #.

Huomaa ensin #F (x) # on tasainen toiminto:

#f (-x) = (-x) sin (1 / (- x)) = (-x) (- sin (1 / x)) = x sin (1 / x) = f (x) #

Löydämme:

#abs (x sin (1 / x)) = abs (x) abs (sin (1 / x)) <= abs (x) #

Niin:

# 0 <= lim_ (x-> 0+) abs (x sin (1 / x)) <= lim_ (x-> 0+) abs (x) = 0 #

Koska tämä on #0#, niin on #lim_ (x-> 0+) x sin (1 / x) #

Myös sen jälkeen #F (x) # on tasan:

#lim_ (x-> 0 ^ -) x sin (1 / x) = lim_ (x-> 0 ^ +) x sin (1 / x) = 0 #

Ota huomioon, että #F (0) # on määrittelemätön, koska siihen kuuluu jakaminen #0#, mutta molemmat vasemman ja oikean raja-arvot ovat olemassa ja sopivat # X = 0 #, joten siinä on reikä (irrotettava epäjatkuvuus).

Löydämme myös:

#lim_ (x-> oo) x sin (1 / x) = lim_ (t> 0 ^ +) sin (t) / t = 1 #

Samalla lailla:

#lim_ (x -> - oo) x sin (1 / x) = lim_ (-> 0 ^ -) sin (t) / t = 1 #

Niin #F (x) # on horisontaalinen asymptoote # Y = 1 #

kaavio {x sin (1 / x) -2,5, 2,5, -1,25, 1,25}