Mikä on (4 i + 4 j + 2 k): n projektio (i + j-7k): een?

Vastaus:

Vektoriprojektio on #< -2/17,-2/17,14/17 >#, skalaari-projektio on # (- 2sqrt (51)) / 17 #. Katso alempaa.

Selitys:

tietty # Veca = (4i + 4j + 2k) # ja # vecb = (i + j-7k) #, voimme löytää #proj_ (vecb) veca #, vektori projisointi # Veca # päälle # Vecb # käyttäen seuraavaa kaavaa:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Toisin sanoen kahden vektorin pistetuote jaettuna suuruusluokalla # Vecb #, kerrottuna # Vecb # jaettuna sen suuruudella. Toinen määrä on vektorimäärä, kun jaamme vektorin skalaarilla. Huomaa, että jaamme # Vecb # suuruudeltaan saadakseen a yksikön vektori (vektori, jonka suuruus on #1#).Saatat huomata, että ensimmäinen määrä on skalaari, koska tiedämme, että kun otamme kahden vektorin pistetuotteen, tuloksena on skalaari.

Siksi skalaari projisointi # A # päälle # B # on #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #, myös kirjoitettu # | Proj_ (vecb) veca | #.

Voimme aloittaa ottamalla kahden vektorin pistetuotteen, jotka voidaan kirjoittaa # veca = <4,4,2> # ja # vecb = <1,1, -7> #.

# veca * vecb = <4,4,2> * <1,1, -7> #

#=> (4*1)+(4*1)+(2*-7)#

#=>4+4-14=-6#

Sitten voimme löytää suuruuden # Vecb # ottamalla kunkin komponentin neliöiden neliöjuuri.

# | Vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | Vecb | = sqrt ((1) ^ 2 + (1) ^ 2 + (- 7) ^ 2) #

# => Sqrt (1 + 1 + 49) = sqrt (51) #

Ja nyt meillä on kaikki, mitä tarvitsemme vektoriprojektion löytämiseksi # Veca # päälle # Vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (- 6) / sqrt (51) * (<1,1, -7>) / sqrt (51) #

#=>(-6 < 1,1,-7 >)/51#

#=>-2/17< 1,1,-7 >#

Voit jakaa kertoimen vektorin jokaiselle komponentille ja kirjoittaa seuraavasti:

#=>< -2/17,-2/17,+14/17 >#

Skalaarinen projektio # Veca # päälle # Vecb # on vain kaavan ensimmäinen puoli, missä #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. Siksi skalaari-projektio on # -6 / sqrt (51) #, joka ei yksinkertaista enää, ja lisäksi nimittäjän järkeistäminen haluttaessa # (- 6sqrt (51)) / 51 => (-2sqrt (51)) / 17 #

Toivottavasti se auttaa!