Todiste siitä, että N = (45 + 29 sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 sqrt (2)) ^ (1/3) on kokonaisluku?

Vastaus:

harkita # t ^ 3-21t-90 = 0 #

Tällä on yksi Real root, joka on #6# alias # (45 + 29sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29sqrt (2)) ^ (1/3) #

Selitys:

Harkitse yhtälöä:

# t ^ 3-21t-90 = 0 #

Käyttämällä Cardanon tapaa ratkaista se, anna #t = u + v #

Sitten:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-7) (u + v) -90 = 0 #

Voit poistaa termin # (U + v) #, lisää rajoitus # Uv = 7 #

Sitten:

# u ^ 3 + 7 ^ 3 / u ^ 3-90 = 0 #

Kerro läpi # U ^ 3 # ja järjestä uudelleen niin, että saat neliöllisen # U ^ 3 #:

# (u ^ 3) ^ 2-90 (u ^ 3) +343 = 0 #

neliökaavalla, sillä on juuret:

# u ^ 3 = (90 + -sqrt (90 ^ 2- (4 * 343))) / 2 #

#color (valkoinen) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (8100-1372) #

#color (valkoinen) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (6728) #

#color (valkoinen) (u ^ 3) = 45 + - 29sqrt (2) #

Koska tämä on Real ja derivaatio oli symmetrinen sisään # U # ja # V #, voimme käyttää yhtä näistä juurista # U ^ 3 # ja toinen # V ^ 3 # päätellä, että. t # T ^ 3-21t-90 # on:

# t_1 = juuri (3) (45 + 29sqrt (2)) + juuri (3) (45-29sqrt (2)) #

mutta löydämme:

#(6)^3-21(6)-90 = 216 - 126 - 90 = 0#

Niin todellinen nolla # T ^ 3-21t-90 # on #6#

Niin # 6 = juuri (3) (45 + 29sqrt (2)) + juuri (3) (45-29sqrt (2)) #

#väri valkoinen)()#

Alaviite

Kuutiomaisen yhtälön löytämiseksi käytin Cardanon menetelmää taaksepäin.

Vastaus:

#N = 6 #

Selitys:

Tehdä #x = 45 + 29 sqrt (2) # ja #y = 45-29 sqrt (2) # sitten

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = x + 3 (xy) ^ (1/3) x ^ (1/3) +3 (xy) ^ (1/3) y ^ (1/3) + y #

# (x y) ^ (1/3) = (7 ^ 3) ^ (1/3) = 7 #

# x + y = 2 xx 45 #

niin

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = 90 + 21 (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) #

tai soittamalla #z = x ^ (1/3) + y ^ (1/3) # meillä on

# z ^ 3-21 z-90 = 0 #

kanssa # 90 = 2 xx 3 ^ 2 xx 5 # ja #z = 6 # on juuri niin

# x ^ (1/3) + y ^ (1/3) = 6 #