Kysymys # 69fi

Vastaus:

Normaali rivi: # Y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #. Tangenttiviiva: #y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Selitys:

Intuitioon: Kuvittele, että toiminto #f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy # kuvaa jonkin maaston korkeutta, missä # X # ja # Y # ovat koordinaatit tasossa ja #ln (y) # oletetaan olevan luonnollinen logaritmi. Sitten kaikki # (X, y) # niin että #f (x, y) = a # (korkeus) vastaa jotakin vakiota # A # kutsutaan tasokäyriksi. Meidän tapauksessamme pysyvä korkeus # A # on nolla, koska #f (x, y) = 0 #.

Saatat tuntea topografiset kartat, joissa suljetut viivat osoittavat yhtäläiset korkeudet.

Nyt kaltevuus #grad f (x, y) = ((osittainen f) / (osittainen x), (osittainen f) / (osittainen x)) = (e ^ x ln (y) - y, e ^ x / y - x) # antaa meille suunnan kohdassa # (X, y) # jossa #f (x, y) # (korkeus) muuttuu nopeimmin. Tämä on joko suoraan ylös tai suoraan alas mäkeä, kunhan maastomme on sileä (erottuva), emmekä ole ylhäällä, pohjassa tai tasangolla (ekstremumipiste). Tämä on itse asiassa normaali suunta vakiokorkeiseen käyrään, joka on # (X, y) = (2, e ^ 2) #:

#grad f (2, e ^ 2) = (e ^ 2 ln (e ^ 2) - e ^ 2, e ^ 2 / e ^ 2 - 2) = (e ^ 2, -1) #.

Siksi normaalin linjan tässä suunnassa läpi # (2, e ^ 2) # voidaan kuvata

# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1) #, missä #s in mathbbR # on todellinen parametri. Voit poistaa # S # ilmaista # Y # funktiona # X # jos haluat, löytää

# Y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #.

Suuntajohdannaisen on tangentin suunnassa oltava #0# (eli korkeus ei muutu), niin tangenttivektori # (U, v) # on täytettävä

#grad f (2, e ^ 2) cdot (u, v) = 0 #

# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #

# e ^ 2u - v = 0 #

# V = e ^ 2u #, missä # Cdot # tarkoittaa pistetuotetta. Niin # (u, v) = (1, e ^ 2) # on yksi oikea valinta. Siksi tangenttiviiva läpi # (2, e ^ 2) # voidaan kuvata

# (x, y) = (2, e ^ 2) + t (1, e ^ 2) #, #t in mathbbR #.

Ratkaisu # Y # antaa sen

#y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Sinun pitäisi lopulta tarkistaa se # (2, e ^ 2) # on käyrällä #f (x, y) #, tangenttilinjalla ja normaalilla linjalla.