Mikä on raja, kun x lähestyy äärettömyyttä (ln (x)) ^ (1 / x)?

Se on melko yksinkertainen. Sinun on käytettävä sitä

#ln (x) = e ^ (ln (ln (x))) #

Sitten tiedät sen

#ln (x) ^ (1 / x) = e ^ (ln (ln (x)) / x) #

Ja sitten tapahtuu mielenkiintoinen osa, joka voidaan ratkaista kahdella tavalla - käyttäen intuitiota ja käyttämällä matematiikkaa.

Aloitetaan intuitio-osasta.

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = lim_ (n-> infty) e ^ (("jotain pienempi kuin x") / x) = e ^ 0 = 1 #

Ajatelkaamme, miksi näin on?

Jatkuvuuden ansiosta # E ^ x # toiminto, johon voimme siirtää rajaa:

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) #

Arvioida tämä raja #lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) #, voimme käyttää de l'Hospital-sääntöä, jossa todetaan:

#lim_ (n-> infty) (f (x) / g (x)) = lim_ (n-> infty) ((f '(x)) / (g' (x))) #

Siksi, kun laskemme johdannaisia, saamme:

#lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) = lim_ (n-> infty) (1 / (xln (x))) #

Johdannaiset ovat # 1 / (xlnA (x)) # nimittäjän ja #1# nimittäjä.

Tämä raja on helppo laskea # 1 / infty # sellainen raja, joka on nolla.

Siksi näet sen

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) = e ^ 0 = 1 #

Ja se tarkoittaa sitä #lim_ (n-> infty) ln (x) ^ 1 / x = 1 # yhtä hyvin.