Miten lähentymisen määritelmän avulla osoitat, että sekvenssi {5+ (1 / n)} konvergoituu n = 1: stä äärettömään?

Päästää:

#a_n = 5 + 1 / n #

sitten mitä tahansa # m, n NN # kanssa #n> m #:

#abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) #

#abs (a_m-a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) #

#abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) #

kuten #n> m => 1 / n <1 / m #:

#abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n #

ja kuten # 1 / n> 0 #:

#abs (a_m-a_n) <1 / m #.

Koska todellinen määrä #epsilon> 0 #, valitse sitten kokonaisluku #N> 1 / Epsilon #.

Jokaista kokonaislukua # m, n> N # meillä on:

#abs (a_m-a_n) <1 / N #

#abs (a_m-a_n) <epsilon #

joka osoittaa Cauchyn edellytyksen sekvenssin konvergenssille.