Vastaus:
Risteyksen käyrä voidaan parametroida kuten # (z, r) = ((81/2) sin2 heta, 9) #.
Selitys:
En ole varma, mitä tarkoitat vektorifunktiolla. Mutta ymmärrän, että yrität edustaa kahden pinnan leikkauskäyrää kysymyksessä.
Koska sylinteri on symmetrinen # Z # akseli voi olla helpompi ilmaista käyrä lieriömäisissä koordinaateissa.
Vaihda sylinterimäisiin koordinaatteihin:
#x = r cos t
#y = r sin t
#z = z #.
# R # on etäisyys # Z # akseli ja # Theta # on vastapäivään kulma # X # akseli # X, y # tasossa.
Sitten ensimmäinen pinta muuttuu
# x ^ 2 + y ^ 2 = 81 #
# r ^ 2cos ^ 2 heta + r ^ 2sin ^ 2eta = 81 #
# R ^ 2 = 81 #
# R = 9 #, Pythagorean trigonometrisen identiteetin vuoksi.
Toinen pinta muuttuu
#z = xy #
#z = rcos heta rsin heta #
# z = r ^ 2sineta.
Ensimmäisen pinnan yhtälöstä opimme, että leikkaavan käyrän on oltava neliön etäisyydellä # R ^ 2 = 81 # ensimmäisestä pinnasta, antamalla sen
#z = 81 sin t, #z = (81/2) sin2, käyrä, joka on parametrisoitu # Theta #. Viimeinen vaihe on trigonometrinen identiteetti ja se tehdään vain henkilökohtaisista mieltymyksistä.
Tästä lausekkeesta nähdään, että käyrä on todellakin käyrä, koska sillä on yksi vapausaste.
Kaiken kaikkiaan voimme kirjoittaa käyrän
# (z, r) = ((81/2) sin2 heta, 9) #, joka on yhden muuttujan vektoriarvoinen funktio # Theta #.
Vastaus:
Katso alempaa.
Selitys:
Ottaen huomioon
# C_1 -> {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (z RR: ssä):} #
kanssa
# C_2-> z = x y #
tai # C_1 nn C_2 #
meillä on
# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (x ^ 2y ^ 2 = z ^ 2):} #
nyt ratkaistaan # X ^ 2, y ^ 2 # saamme parametriset käyrät
# {(x ^ 2 = 1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))), (y ^ 2 = 1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))):} # tai
# {(x = pm sqrt (1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2)))), (y = pm sqrt (1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2 -4 z ^ 2)))):} #
jotka ovat todellisia
# r ^ 2-4 z ^ 2 ge 0 rArr z lepm (r / 2) ^ 2 #
Liitteenä kuvaaja, jossa näkyy leikkauskäyrä punaisena (yksi lehti).
