Mikä on (Na ^ 24): n puoliintumisaika, jos tutkimusavustaja teki 160 mg radioaktiivista natriumia (Na ^ 24) ja havaitsi, että vain 20 mg oli jäljellä 45 tuntia myöhemmin?

Vastaus:

#color (sininen) ("Puoliintumisaika on 15 tuntia.") #

Selitys:

Meidän on löydettävä yhtälö lomakkeesta:

#A (t) = A (0) e ^ (kt) #

Missä:

#BB (A (t)) = # määrä ajan kuluttua t.

#BB (A (0) = # määrä alussa. ts. t = 0.

# BBK = # kasvu- / hajoamistekijä.

# BBE = # Eulerin numero.

# BBT = # aikaa, tässä tapauksessa tuntia.

Meille annetaan:

#A (0) = 160 #

#A (45) = 20 #

Meidän on ratkaistava # BBK #:

# 20 = 160e ^ (45k) #

Jaa 160: lla:

# 1/8 = e ^ (45k) #

Kummankin puolen luonnollisten logaritmien ottaminen:

#ln (1/8) = 45kln (e) #

#ln (e) = 1 #

Siten:

#ln (1/8) = 45k #

Jakaminen 45: llä:

#ln (1/8) / 45 = k #

#:.#

#A (t) = 160e ^ (t (ln (1/8) / 45)) #

#A (t) = 160e ^ (t / 45 (ln (1/8)) #

#A (t) = 160 (1/8) ^ (t / 45) #

Koska määritelmän mukaan puoliintumisaika on ajanjakso, jolloin meillä on puolet alkumäärästä:

#A (t) = 80 #

Joten meidän on ratkaistava t:

# 80 = 160 * (1/8) ^ (t / 45) #

# 80/160 = (1/8) ^ (t / 45) #

# 1/2 = (1/8) ^ (t / 45) #

Luonnon logaritmien ottaminen:

#ln (1/2) = t / 45ln (1/8) #

# 45 * (ln (1/2)) / ln ((1/8)) = t = 15 #

Puoliintumisaika on 15 tuntia.

Vastaus:

15 tuntia

Selitys:

• Nopea tapa

Hajoavan aineen määrä puolittaa kukin puoliintumisaika (täten nimi), summan puolittaminen vaiheissa edellyttää 3 vaihetta, jotta saat 160: sta 20: een:

• # 160 - 80 - 40 - 20 #

Ja #45 = 3 * 15#

Niinpä puoliintumisaika on 15 vuotta.

• Muodollisempi tapa

Puoliintumisaika # Tau #, missä # X (t) # on määrä (massa / hiukkasten lukumäärä / jne.) jäljellä ajanhetkellä t:

#X (t) = X_o (1/2) ^ (t / tau) qquad square #

Niin:

#X (0) = X_o, X (tau) = X_o / 2, X (2tau) = X_o / 4, … #

Syötettyjen arvojen liittäminen #neliö#:

# 20 = 160 * (1/2) ^ (45 / tau) #

#implies (1/2) ^ (45 / tau) = 1/8 qquad qquad = (1/2) ^ 3 #

#implies 45 / tau = 3 merkitsee tau = 15 #