Mikä on neliöjuuri 89?

Vastaus:

Neliöjuuri #89# on numero, joka kun neliö antaa #89#.

#sqrt (89) ~~ 9.434 #

Selitys:

Siitä asti kun #89# on prime, #sqrt (89) # ei voida yksinkertaistaa.

Voit arvioida sen Newton Raphson -menetelmällä.

Haluan muotoilla sen hieman uudelleen seuraavasti:

Päästää #n = 89 # on numero, jonka haluat.

Valita # p_0 = 19 #, # q_0 = 2 # jotta # P_0 / q_0 # on kohtuullinen järkevä lähentäminen. Valitsin nämä erityiset arvot #89# on noin puolivälissä #9^2 = 81# ja #10^2 = 100#.

Iteraatti käyttäen kaavoja:

#p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2 #

#q_ (i + 1) = 2 p_i q_i #

Tämä antaa paremman rationaalisen lähentämisen.

Niin:

# p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 19 ^ 2 + 89 * 2 ^ 2 = 361 + 356 = 717 #

# q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76 #

Joten jos lopetamme täällä, saisimme lähentymisen:

#sqrt (89) ~~ 717/76 ~~ 9.434 #

Mennään vielä yksi vaihe:

# p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 717 ^ 2 + 89 * 76 ^ 2 = 514089 + 514064 = 1028153 #

# q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984 #

Joten saamme lähentymisen:

#sqrt (89) ~~ 1028153/108984 ~~ 9.43398113 #

Tämä Newton Raphson -menetelmä konvergoituu nopeasti.

#väri valkoinen)()#

Oikeastaan melko hyvä yksinkertainen lähentäminen #sqrt (89) # on #500/53#, siitä asti kun #500^2 = 250000# ja #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt (89) ~~ 500/53 ~~ 9.43396 #

Jos käytämme tähän yhden iterointivaiheen, saamme paremman lähentymisen:

#sqrt (89) ~~ 500001/53000 ~~ 9.4339811321 #

#väri valkoinen)()#

Alaviite

Kaikilla positiivisten kokonaislukujen neliöjuurilla on toistuvia jakeita, joiden avulla voit myös antaa järkeviä arvioita.

Jos kyseessä on kuitenkin #sqrt (89) # Jatkuva murto-osa on hieman sotkuinen, joten ei ole niin mukavaa työskennellä:

#sqrt (89) = 9; bar (2, 3, 3, 2, 18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (3 + 1 / (3 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (3 + …))))))) #

Lähentäminen #500/53# edellä on #9; 2, 3, 3, 2#