Vaakaa, joka liikkuu vaakasuunnassa lineaarisella tiellä, kuvataan F (x) = x ^ 2-3x + 3. Kuinka paljon kohteen kineettinen energia muuttuu, kun kohde liikkuu x: stä [0, 1]?

Vastaus:

Newtonin toinen liikelaki:

# F = m * a #

Kiihtyvyyden ja nopeuden määritelmät:

# A = (du) / dt #

# U = (dx) / dt #

Kineettinen energia:

# K = m * u ^ 2/2 #

Vastaus on:

# ΔK = 11/6 # # Kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Selitys:

Newtonin toinen liikelaki:

# F = m * a #

# X ^ 2-3x + 3 = m * a #

korvaamalla # A = (du) / dt # ei auta yhtälön kanssa, koska # F # ei ole annettu funktiona # T # vaan funktiona # X # Kuitenkin:

# A = (du) / dt = (du) / dt * (dx) / dx = (dx) / dt * (du) / dx #

Mutta # (Dx) / dt = u # niin:

# A = (dx) / dt * (du) / dx = u * (du) / dx #

Meillä on yhtälö, jossa meillä on yhtälö:

# X ^ 2-3x + 3 = m * u (du) / dx #

# (X ^ 2-3x + 3) dx = m * Udu #

#int_ (x_1) ^ (x_2) (x ^ 2-3x + 3) dx = int_ (U_1) ^ (U_2) m * Udu #

Kaksi nopeutta ovat tuntemattomia, mutta sijainnit # X # ovat tunnettuja. Myös massa on vakio:

#int_ (0) ^ (1) (x ^ 2-3x + 3) dx = m * int_ (U_1) ^ (U_2) Udu #

# X ^ 3 / 3-3x ^ 2/2 + 3x _0 ^ 1 = m * u ^ 2/2 _ (U_1) ^ (U_2) #

# (1 ^ 3 / 3-3 * 1 ^ 2/2 + 3 * 1) - (0 ^ 3 / 3-3 * 0 ^ 2/2 + 3 * 0) = m * (U_2 ^ 2 / 2- U_1 ^ 2/2) #

# 11/6 = m * U_2 ^ 2/2-m * U_2 ^ 2/2 #

Mutta # K = m * u ^ 2/2 #

# 11/6 = K_2-K_1 #

# ΔK = 11/6 # # Kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Huomautus: yksiköt ovat # Kg * m ^ 2 / s ^ 2 # vain jos annetut etäisyydet # (x kohdassa 0,1) # ovat metreinä.