Mikä on neliöjuuri 5?

Neliöjuuri #5# ei voida yksinkertaistaa isää kuin se on jo, joten tässä on # Sqrt5 # kymmenen desimaalin tarkkuudella:

# Sqrt5 ~~ +2,2360679775 … #

Vastaus:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …)))) ~ ~ 2889/1292 ~~ 2.236068 # on irrationaalinen numero.

Selitys:

Kaikissa positiivisissa numeroissa on tavallisesti kaksi neliöjuurta, positiivinen ja saman kokoinen negatiivinen. Me merkitsemme positiivisen (a.k.a. pääasiallisen) neliöjuuren # N # mennessä #sqrt (n) #.

Numeron neliöjuuri # N # on numero # X # niin että # x ^ 2 = n #. Niin jos # x ^ 2 = n # sitten myös # (- x) ^ 2 = n #.

Kuitenkin suosittu käyttö on, että "neliöjuuri" viittaa positiiviseen.

Oletetaan, että meillä on positiivinen luku # X # joka täyttää:

#x = 2 + 1 / (2 + x) #

Sitten kerrotaan molemmat puolet # (2 + x) # saamme:

# x ^ 2 + 2x = 2x + 5 #

Sitten vähennetään # 2x # molemmilta puolilta saamme:

# X ^ 2 = 5 #

Joten olemme löytäneet:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (2 + sqrt (5)) #

#color (valkoinen) (sqrt (5)) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) #

Kun tämä jatkuva murto ei loppu, voimme kertoa sen #sqrt (5) # ei voida esittää lopetusfraktiona - eli järkevänä numerona. Niin #sqrt (5) # on irrationaalinen määrä, joka on hieman pienempi kuin #2 1/4 = 9/4#. Paremman rationaalisen lähentymisen vuoksi voit lopettaa jatkuvan murto-osan lisäehtojen jälkeen.

Esimerkiksi:

#sqrt (5) ~~ 2 + 1 / (4 + 1/4) = 2 + 4/17 = 38/17 ~~ 2.235 #

Näiden jatkuvien fraktioiden purkaminen voi olla hieman tylsiä, joten yleensä haluan käyttää toista menetelmää, nimittäin rekursiivisesti määritellyn kokonaislukujakson rajoittavaa suhdetta.

Määritä jakso seuraavasti:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 4a_ (n + 1) + a_n):} #

Muutamat ensimmäiset termit ovat:

#0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473#

Termien suhde on taipumus # 2 + sqrt (5) #.

Joten löydämme:

#sqrt (5) ~~ 5473/1292 - 2 = 2889/1292 ~~ 2.236068 #