Kysymys # 9be0d

Vastaus:

Tämä yhtälö on likiarvo hiukkasen suhteellisesta energiasta pienille nopeuksille.

Selitys:

Olen tietoinen erityisestä suhteellisuudesta, nimittäin siitä, että liikkuvan hiukkasen energia, joka on havaittu inertia-kehyksestä, saadaan # E = gammamc ^ 2 #, missä # Gamma = 1 / sqrt (1- (v / c) ^ 2) # Lorentzin tekijä. Tässä # V # on tarkkailijan inerttikehyksessä havaitseman hiukkasnopeus.

Fysiikan tärkeä lähentämisväline on Taylor-sarjan lähentäminen. Tämä tarkoittaa, että voimme lähestyä funktiota #F (x) # mennessä #f (x) approxsum_ (n = 0) ^ N (f ^ ((n)) (0)) / (n!) x ^ n #, korkeampi # N #, sitä parempi on lähentäminen. Itse asiassa suuren luokan sileiden toimintojen osalta tämä likiarvo muuttuu täsmälleen # N # menee # Oo #. Ota huomioon, että #f ^ ((n)) # tarkoittaa n: nnen johdannaista # F #.

Lähestymme toimintoa #f (x) = 1 / sqrt (1-x) # pienille # X #Huomaa, että jos # X # on pieni, # X ^ 2 # on vielä pienempi, joten oletamme, että emme voi ottaa huomioon tämän järjestyksen tekijöitä. Joten meillä on #f (x) approxf (0) + f '(0) x # (tämä tietty lähentyminen tunnetaan myös Newtonin lähentymisenä). #f (0) = 0 # ja #f '(x) = 1 / (2 (1-x) ^ (3/2)) #, niin #f '(0) = 1/2 #. Siksi #f (x) approx1 + 1 / 2x #.

Nyt huomaamme sen # Gamma = f ((v / c) ^ 2) #. Todellakin jos # V # on pieni suhteessa # C #, joka tulee olemaan päivittäisissä tilanteissa, lähentäminen pitää niin # Gammaapprox1 + 1/2 (v / c) ^ 2 #. Tämän korvaaminen hiukkasen kokonaisenergian yhtälössä antaa # Eapproxmc ^ 2 + 1/2 mV ^ 2 #. Tämä antaa meille kineettisen energian #E _ ("kin") = E-E_ "lepo" approxmc ^ 2 + 1/2 mV ^ 2-mc ^ 2 = 1 / 2mV ^ 2 # alhaisille nopeuksille, mikä on sopusoinnussa klassisten teorioiden kanssa. Suuremmille nopeuksille on järkevää käyttää enemmän sanoja Taylor-sarjassa, jolloin kineettiseen energiaan tehdään niin sanottuja relativistisia korjauksia.