Mikä on kuutiojuuri (sqrt3 -i)?

Aloittaisin muuttamalla numeron trigonometriseksi muotoksi:

# Z = sqrt (3) -i = 2 cos (pi / 6) + isin (pi / 6) #

Tämän numeron kuutiojuuri voidaan kirjoittaa seuraavasti:

# Z ^ (1/3) #

Tätä silmällä pitäen käytän kaavan kompleksisen numeron n: nnen tehon trigonometrisessä muodossa:

# Z ^ n = r ^ n cos (ntheta) + isin (ntheta) # antaa:

# Z ^ (1/3) = 2 ^ (1/3) cos (pi / 6 * 1/3) + isin (pi / 6 * 1/3) = #

# = 2 ^ (1/3) cos (pi / 18) + isin (pi / 18) #

Joka suorakulmainen on: # 4.2-0.7i #

En voi täysin yhtyä Gión vastaukseen, koska se on epätäydellinen ja myös virallisesti virheellinen.

Muodollinen virhe on käytössä De Moivren kaava ei-kokonaislukuisten eksponenttien kanssa. De Moivren kaavaa voidaan soveltaa vain kokonaislukuja. Lisätietoja tästä on Wikipedian sivulla

Siellä löydät kaavan osittaisen laajennuksen käsittelemiseksi # N #- juuret (siihen liittyy ylimääräinen parametri # K #): jos # z = r (cos theta + i sin theta) #sitten

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos ((theta + 2 k pi) / n) + i sin ((theta + 2 k pi) / n)) # missä # k = 0, …, n-1 #.

Yksi (ja jossain mielessä) Monimutkaisten lukujen erittäin olennainen ominaisuus on se # N #- juuret ovat … # N # juuret (ratkaisut)! Parametri # K # (joka vaihtelee #0# ja # N-1 #, niin # N # arvojen avulla) voidaan tiivistää ne yhteen kaavaan.

Joten kuutiojuurilla on kolme ratkaisua ja vain yhden löytäminen ei riitä: se on vain "#1/3# ratkaisun ".

Kirjoitan ratkaisuehdotukseni alla. Kommentit ovat tervetulleita!

Kuten Gió ehdotti oikein, ensimmäinen askel on # Z = sqrt {3} -i # sen trigonometrisessä muodossa #r (cos theta + i sin theta) #. Juurien käsittelyssä trigonometrinen muoto on (lähes) aina hyödyllinen työkalu (yhdessä eksponentiaalisen kanssa). Saat:

# R = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = sqrt {(sqrt {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = sqrt {3 + 1} = sqrt {4} = 2 #

# theta = arctan (y / x) = arctan (- 1 / sqrt {3}) = - pi / 6 #

Niin # z = r (cos theta + i sin theta) = 2 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) #

Nyt haluat laskea juuret. Edellä esitetyn kaavan mukaan saamme:

# z ^ {1/3} = r ^ {1/3} (cos ((teta + 2 k pi) / 3) + i sin ((theta + 2 k pi) / 3)) = 2 ^ {1 / 3} (cos ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3)) #

missä # k = 0, 1, 2 #. Joten on olemassa kolme erilaista arvoa # K # (#0#, #1# ja #2#) jotka synnyttävät kolme eri monimutkaista juuria # Z #:

# z_0 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 0) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 0) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-pi / 18) + i sin (-pi / 18)) #

# z_1 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 2 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-11/18 pi) + i sin (-11/18 pi))

# z_2 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 4 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 4 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-23/18 pi) + i sin (-23/18 pi)) #

# Z_0 #, # Z_1 # ja # Z_2 # ovat kolme ratkaisua.

Kaavan geometrinen tulkinta # N # juuret ovat erittäin hyödyllisiä ratkaisujen tekemiseen monimutkaisessa tasossa. Myös juoni osoittaa hyvin kaavan ominaisuuksia.

Ensinnäkin voimme huomata, että kaikilla ratkaisuilla on sama etäisyys # R ^ {1 / n} # (esimerkissämme #2^{1/3}#) alkuperästä. Joten he kaikki sijaitsevat säteen kehällä # R ^ {1 / n} #. Nyt meidän on huomautettava missä sijoittaa ne tähän kehään. Voimme kirjoittaa sinin ja kosinin argumentit seuraavalla tavalla:

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos (teta / n + (2pi) / n k) + i sin (theta / n + (2pi) / n k))

"Ensimmäinen" -juuri vastaa # K = 0 #:

# z_0 = r ^ {1 / n} (cos (theta / n) + i sin (theta / n)) #

Kaikki muut juuret voidaan saada tästä lisäämällä kulma # (2pi) / n # rekursiivisesti kulmaan # Theta / n # suhteessa ensimmäiseen juuriin # Z_0 #. Joten me liikkumme # Z_0 # ympärysmitta kiertämällä # (2pi) / n # radiaanit (# (360 °) / n #). Joten pisteet sijaitsevat tavallisten pisteiden pisteissä # N #gon. Yhden niistä löydämme muut.

Meidän tapauksessamme:

jossa sininen kulma on # Theta / n = pi / 18 # ja magenta on # (2pi) / n = 2/3 pi #.