Määritä matemaattisesti värin juuret (valkoinen) ("d") y = x ^ 3-3x-1 = 0?

Määritä matemaattisesti värin juuret (valkoinen) ("d") y = x ^ 3-3x-1 = 0?
Anonim

Vastaus:

#x = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # varten #n = 0, 1, 2 #

Selitys:

Ottaen huomioon:

# x ^ 3-3x-1 = 0 #

Trigonometrinen korvaaminen

Koska tämä kuutio on #3# todelliset nollat, Cardanon menetelmä johtaa lausekkeisiin, jotka sisältävät monimutkaisten numeroiden palamattomia kuutiojuuria. Cardanon menetelmä ei ole väärin, mutta se ei ole kovin ystävällinen, ellei kuution juurilla ole yksinkertaista muotoa.

Vaihtoehtona tällaisissa tapauksissa haluan käyttää trigonometristä korvaamista.

Päästää:

#x = k cos theta #

Temppu on valita # K # siten, että tuloksena oleva ilmaisu sisältää # 4 cos ^ 3-theta-3 cos theta = cos 3 theta #.

Meillä on:

# 0 = x ^ 3-3x-1 #

#color (valkoinen) (0) = k ^ 3 cos ^ 3-teeta - 3 k cos-theta - 1 #

#color (valkoinen) (0) = k (k ^ 2 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 #

#color (valkoinen) (0) = 2 (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 "" # kanssa # K = 2 #

#color (valkoinen) (0) = 2cos 3theta - 1 #

Niin:

#cos 3 theta = 1/2 #

Niin:

# 3 theta = + -pi / 3 + 2npi "" # mikä tahansa kokonaisluku # N #

Niin:

#theta = + -pi / 9 + (2npi) / 3 "" # mikä tahansa kokonaisluku # N #

Tämä antaa #3# erilliset mahdolliset arvot #x = k cos theta #

#x = 2 cos theta = 2 cos (pi / 9 + (2 npi) / 3) "" # varten #n = 0, 1, 2 #.