Todista induktiolla, että f (n) = 2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1) on jaettavissa 5: lla n: llä ZZ ^ +: ssa?

Vastaus:

Katso alempaa.

Selitys:

Huomaa, että # M # outoa meillä on

# (a ^ m + b ^ m) / (a + b) = a ^ (m-1) -a ^ (m-2) b + a ^ (m-3) b ^ 2 + cdots -ab ^ (m -2) + b ^ (m-1) #

joka osoittaa vahvistuksen.

Nyt lopullinen induktio.

varten #n = 1 #

#2+3 = 5# joka on jaollinen.

nyt oletetaan, että

# 2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1) # on jaettava, meillä on

# 2 ^ (2 (n + 1) -1) + 3 ^ (2 (n + 1) -1) = 2 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 3 ^ (2n-1) 3 ^ 2 = #

# = 2 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 3 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 5 xx 3 ^ (2n-1) = #

# = 2 ^ 2 (2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1)) + 5 xx 3 ^ (2n-1) # joka on jaollinen #5#

niin se on totta.