Mitkä ovat f (x) = (lnx) ^ 2 / x paikalliset ääriarvot, jos sellaisia on?

Vastaus:

Paikallinen minimi on vähintään #0# at #1#. (Mikä on myös maailmanlaajuinen.) Ja paikallinen enimmäismäärä # 4 / e ^ 2 # at # E ^ 2 #.

Selitys:

varten #f (x) = (lnx) ^ 2 / x #Huomaa ensin, että # F # on positiiviset todelliset luvut, # (0, oo) #.

Etsi sitten

#f '(x) = (2 (lnx) (1 / x) * x - (lnx) ^ 2 1) / x ^ 2 #

# = (lnx (2 lnx)) / x ^ 2 #.

# F '# on määrittelemätön # X = 0 # joka ei ole # F #, joten se ei ole kriittinen numero # F #.

#f '(x) = 0 # missä

# Lnx = 0 # # # tai # # # 2-lnx = 0 #

# X = 1 # # # tai # # # X = e ^ 2 #

Testaa välit #(0,1)#, # (1, e ^ 2) #, ja # (E ^ 2, oo) #.

(Ehdotan testinumeroille # e ^ -1, e ^ 1, e ^ 3 # -- palauttaa mieleen # 1 = e ^ 0 # ja # E ^ x # kasvaa.)

Me löydämme sen # F '# muuttuu negatiivisesta positiiviseen, kun siirrymme #1#, niin #f (1) = 0 # on paikallinen minimi,

ja tuo # F '# muuttuu positiivisesta negatiiviseksi ohitettaessa # E ^ 2 #, niin #f (e ^ 2) = 4 / e ^ 2 # on paikallinen enimmäismäärä.