Mitkä ovat f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x paikalliset ääriarvot, jos sellaisia on?

Vastaus:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x # on paikallinen minimi # X = 1 # ja paikallinen enimmäismäärä # X = 3 #

Selitys:

Meillä on:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x #

toiminto määritellään kaikissa # RR # kuten # x ^ 2 + 3> 0 AA x #

Voimme tunnistaa kriittiset kohdat löytämällä, missä ensimmäinen johdannainen on nolla:

#f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) -1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) #

# - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 #

# x ^ 2-4x + 3 = 0 #

# x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 #

kriittiset kohdat ovat:

# x_1 = 1 # ja # x_2 = 3 #

Koska nimittäjä on aina positiivinen, merkki #f '(x) # on vastakohta lukijan merkille # (X ^ 2-4x + 3) #

Nyt tiedämme, että toisen asteen polynomi, jolla on positiivinen johtava kerroin, on positiivinen juurien ja negatiivisten välillä juurien välisessä välissä, niin että:

#f '(x) <0 # varten #x kohdassa (-oo, 1) # ja #x kohdassa (3, + oo) #

#f '(x)> 0 # varten #x in (1,3) #

Meillä on niin #F (x) # vähenee vuonna # (- oo, 1) #, kasvaa vuonna #(1,3)#ja taas vähenee vuonna # (3, + oo) #, jotta # x_1 = 1 # on oltava paikallinen minimi ja # X_2 = 3 # on oltava paikallinen enimmäismäärä.

kaavio {2ln (x ^ 2 + 3) -x -1,42, 8,58, -0,08, 4,92}