Ratkaise seuraava yhtälö luonnollisissa numeroissa: x² + y² = 1997 (x-y)?

Vastaus:

# (x, y) = (170, 145) # tai # (x, y) = (1817, 145) #

Selitys:

Seuraava todistus perustuu siihen, että Titu Andreescun, Dorin Andrican, Ion Cucurezeanun teoksessa "Diofanttiyhtälöiden esittely: ongelmapohjainen lähestymistapa".

Ottaen huomioon:

# X ^ 2 + y ^ 2 = 1997 (x-y) #

Päästää #a = (x + y) # ja #b = (1997-x + y) #

Sitten:

# a ^ 2 + b ^ 2 = (x + y) ^ 2 + (1997-x + y) ^ 2 #

# = X ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (1997 (xy) + xy) #

# = X ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (x ^ 2 + y ^ 2 + xy) #

#=1997^2#

Siksi löydämme:

# {(0 <a = x + y <1997), (0 <b = 1997-x + y <1997):} #

Siitä asti kun #1997# on prime, # A # ja # B # ei ole yhteistä tekijää suurempi kuin #1#.

Näin ollen on olemassa positiivisia kokonaislukuja #m, n # kanssa #m> n # eikä yhteistä tekijää suurempi kuin #1# siten, että:

# {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = 2mn), (b = m ^ 2-n ^ 2):} väri (valkoinen) (XX) "tai" väri (valkoinen) (XX) {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = m ^ 2-n ^ 2), (b = 2mn):} #

Tarkasteltaessa # 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # mod #3# ja mod #5# aritmeettinen, löydämme:

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #3#) #m - = + -1 # ja #n - = + -1 # (mod #3#)

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #5#) #m - = + -1 # ja #n - = + -1 # (mod #5#)

Tämä tarkoittaa, että ainoat mahdollisuudet #m, n # modulo #15# olemme #1, 4, 11, 14#.

Huomaa lisäksi, että:

# m ^ 2 vuonna (1997/2, 1997) #

Siten:

#m in (sqrt (1997/2), sqrt (1997)) ~~ (31.6, 44.7) #

Joten ainoat mahdollisuudet # M # olemme #34, 41, 44#

Löydämme:

#1997 - 34^2 = 841 = 29^2#

#1997 - 41^2 = 316# ole täydellinen neliö.

#1997 - 44^2 = 61# ole täydellinen neliö.

Niin # (m, n) = (34, 29) #

Niin:

# (a, b) = (2mn, m ^ 2-n ^ 2) = (1972, 315) #

tai

# (a, b) = (m ^ 2-n ^ 2, 2mn) = (315, 1972) #

#väri valkoinen)()#

Jos # (a, b) = (1972, 315) # sitten:

# {(x + y = 1972), (1997-x + y = 315):} #

ja siten:

# (x, y) = (1817, 145) #

#väri valkoinen)()#

Jos # (a, b) = (315, 1972) # sitten:

# {(x + y = 315), (1997-x + y = 1972):} #

ja siten:

# (x, y) = (170, 145) #