Miten yksinkertaistat 2cos ^ 2 (4θ) -1: n käyttämällä kaksikulmaista kaavaa?

Vastaus:

# 2 cos ^ 2 (4eta) - 1 = cos (8eta) #

Selitys:

Kosinille on olemassa useita kaksikulmaisia kaavoja. Yleensä edullinen on se, joka kääntää kosinin toiseen kosiiniin:

cos 2x = 2 cos ^ 2 x - 1 #

Voimme todella ottaa tämän ongelman kahteen suuntaan. Yksinkertaisin tapa on sanoa # X = 4 theta # niin saamme

# cos (8eta) = 2 cos ^ 2 (4eta) - 1 #

joka on melko yksinkertaistettu.

Tavallinen tapa on saada tämä # theta #. Aloitamme vuokraamalla # X = 2 theta. #

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

# = 2 ^ ^ (2 (2 heta)) - 1 #

# = 2 (2 cos ^ 2 (2 heta) - 1) ^ 2 - 1 #

# = 2 (2 (2 cos ^ 2 heta -1) ^ 2 -1) ^ 2 -1 #

# = 128 cos ^ 8eta - 256 cos ^ 6-teeta + 160 cos ^ 4-teeta - 32 cos ^ 2 theta + 1 #

Jos asetamme # x = theta # meillä olisi kahdeksas ensimmäinen Chebyshevin polynomi, # T_8 (x) #, tyydyttävä

#cos (8x) = T_8 (cos x) #

Oletan, että ensimmäinen tapa oli luultavasti se, mitä he ovat jälkeen.