Ratkaise seuraava yhtälö: (x ^ 2-2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2)?

Vastaus:

# X = -sqrt11, -sqrt19 / 3, sqrt19 / 3, sqrt11 #

Tämä selitys antaa melko syvällisen menetelmän vaiheiden määrittämiseksi mahdollisten tekijöiden löytämiseksi, joiden avulla kvadratyyppinen yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen siten, että se voidaan ratkaista ilman kvadraattista yhtälöä ja / tai laskinta.

Selitys:

Ensimmäinen ruutu termi yhtälön vasemmalla puolella.

# (X ^ 2-2) / 3 + (x ^ 2-1) ^ 2/25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Laajenna neliömäinen binomi. Muista tuo # (X ^ 2-1) ^ 2 = (x ^ 2-1) (x ^ 2-1) #.

# (X ^ 2-2) / 3 + (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Voimme tyhjentää fraktiot kertomalla yhtälön vähiten yhteisen nimittäjän kanssa #3,25,# ja #9,# mikä on #225#.

Ota huomioon, että #225=3^2*5^2#, niin #225/3=75#, #225/25=9#, ja #225/9=25#.

Kerrotaan läpi #225# antaa:

# 75 (x ^ 2-2) +9 (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) = 25 (7) (x ^ 2-2) #

Jaa jokainen multiplikaatiovaki.

# 75x ^ 2-150 + 9x ^ 4-18x ^ 2 + 9 = 175x ^ 2-350 #

Siirrä kaikki termit toiselle puolelle ja järjestä yhtälö uudelleen.

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 0 #

Tällä on potentiaalia olla faktoroitavissa: puute # X ^ 3 # ja # X # tarkoittaa, että tämä voi olla mahdollista sisällyttää lomakkeeseen # (X ^ 2 + a) (x ^ 2 + b) #.

Jos haluat testata tekijöitä, huomaa, että meidän pitäisi löytää pari kokonaislukua, joiden tuote on ensimmäisen ja lopullisen kertoimen tuote, joka on # 9xx209 = 3 ^ 2 * 11 * 19 #. Samat kokonaisluvut, joiden tuote on #3^2*11*19# pitäisi olla summa #-118#.

Koska tuote on positiivinen ja summa on negatiivinen, tiedämme, että molemmat kokonaisluvut ovat positiivisia.

Nyt on huijata löytää joukko numeroita #3^2*11*19# jonka summa on #118#. (Jos löydämme positiivisen version, voimme helposti vaihtaa molemmat numerot negatiiviseen muotoon.)

Meidän pitäisi yrittää saada aikaan tekijöiden ryhmittely #3^2*11*19# jotka eivät ylitä #118#.

Voimme ennalta ehkäistä mahdollisuuden #3^2*19# ja #11*19# esiintyy jommankummana kahdesta kokonaisluvustamme, koska molemmat ovat suurempia kuin #118#. Jos siis keskitymme #19# koska se on suurin tekijä, tiedämme, että se on vain sellainen #19# tai #3*19#.

Joten vain kaksi vaihtoehtoa kokonaisluvuille ovat:

# {:(bb "Integer 1", "", bb "Integer 2", "", bb "Sum"), (19, "", 3 ^ 2 * 11 = 99, "", 118), (19 * 3 = 57, "", 3 * 11 = 33, "", 90):} #

Tästä syystä meidän numeropari, jonka tuote on #3^2*11*19# ja summa on #118# on #19# ja #99#.

Tästä voimme kirjoittaa quarticin seuraavasti:

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 9x ^ 4-99x ^ 2-19x ^ 2 + 209 #

Tekijä ryhmittelemällä:

# 9x ^ 2 (x ^ 2-11) -19 (x ^ 2-11) = (9x ^ 2-19) (x ^ 2-11) = 0 #

Jaa tämä kahteen yhtälöön:

# 9x ^ 2-19 = 0 "" => "" x ^ 2 = 19/9 "" => "" x = + - sqrt19 / 3 #

# x ^ 2-11 = 0 "" => "" x ^ 2 = 11 "" => "" x = + - sqrt11 #

Vastaus:

Kaavojen yhtälöt näyttävät aina huonommilta kuin ne ovat. Niin kauan kuin sinulla on yhtälö eikä lauseke, voit päästä eroon nimittäjistä kertomalla nimittäjien LCM: llä.

Selitys:

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Aloita aloittamalla nimittäjä toisella aikavälillä.

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) ^ 2) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Nyt kerrotaan kukin termi 225: llä nimittäjien peruuttamiseksi.

#cancel (225) ^ 75xx ((x ^ 2 -2)) / cancel3 + peruuta (225) ^ 9 ((x ^ 2-1) ^ 2) / cancel25 = peruuta (225) ^ 25xx7 / peruuta9 (x ^ 2-2) #

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 = 175 (x ^ 2-2) #

Tämä on selvästi neliö, joten tee se 0: ksi.

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 - 175 (x ^ 2-2) = 0 #

Huomaa, että ensimmäinen ja kolmas termi ovat samanlaisia kuin termit, joten voimme lisätä ne yhteen. Neliö myös keskipitkällä.

# 9 (x ^ 4 - 2x ^ 2 +1) -100 (x ^ 2 -2) + = 0 #

Poista suluissa jakelulaki:

# 9x ^ 4 - 18x ^ 2 +9 -100x ^ 2 + 200 = 0 #

Yksinkertaistaa: # 9x ^ 4 - 118x ^ 2 + 209 = 0 #

9: n ja 209: n tekijöiden tutkiminen johtaa

9 = 3x3 tai 9x1 ja 209 = 11 x 19

118: een lisättävien tekijöiden yhdistelmä on 99 + 19

Factorising antaa # (x ^ 2 - 11) (9x ^ 2- 19) = 0 #

Jos # x ^ 2 - 11 = 0 #

# x ^ 2 = 11 #

# x = + -sqrt11 #

Jos # 9x ^ 2- 19 = 0 #

# 9x ^ 2 = 19 #

# x ^ 2 = 19/9 #

# x = (+ -sqrt19) / 3 #