Kuinka monta numeroa on välillä 1 ja 99999, joiden numeroiden summa on 9? Tarvitsen menetelmän.

Vastaus:

#715#

Selitys:

# "Etsimme matemaattisesti a, b, c, d, e siten, että" #

# "a + b + c + d + e = 9. a, b, c, d, e ovat positiivisia kokonaislukuja." #

# "Tämä on tähtien ja palkkien ongelma. Meillä on 9 tähteä (summa" #

# "numeroista) ja ne on jaettava 5 ryhmään." #

# "Näiden yhdistelmien lukumäärä on C (9 + 4,4) = C (13,4)," #

#"kanssa"#

#C (n, k) = (n!) / ((N-k)! K!) #

# "Joten tässä meillä on" #

#C (13,4) = (13!) / ((9!) (4!)) = 715 #

# "Mahdollisuuksia." #

Vastaus:

#715#

Selitys:

Oletetaan, että sinulla on #5# laatikot ja #9# identtisiä esineitä niiden välillä. Kuinka monta tapaa se voidaan tehdä?

Kirjoittaminen # "" ^ n D_k # jakelutapojen lukumäärä # N # samanlaisia esineitä # K #, meillä on:

• # "" ^ 0 D_k = 1 #

• # "" ^ 1 D_k = k #

• # "" ^ n D_1 = 1 #

• # "" ^ n D_2 = "" ^ n D_1 + "" ^ (n-1) D_1 + … + "" ^ 0 D_1 = n + 1 #

• # "" ^ n D_3 = "" ^ n D_2 + "" ^ (n-1) D_2 + … + "" ^ 0 D_2 #

  # = (n + 1) + ((n-1) +1) + … + (1 + 1) + (0 + 1) = 1/2 (n + 1) (n + 2) #

• # "" ^ n D_4 = "" ^ n D_3 + "" ^ (n-1) D_3 + … + "" ^ 0 D_3 #

  # = 1/2 (n + 1) (n + 2) + 1/2 ((n-1) +1) ((n-1) +2) + … + 1/2 (0 + 1) (0 + 2) #

# = 1/6 (n + 1) (n + 2) (n + 3) #

• # "" ^ n D_5 = "" ^ n D_4 + "" ^ (n-1) D_4 + … + "" ^ 0 D_4 #

  # = 1/6 (n + 1) (n + 2) (n + 3) +1/6 ((n-1) +1) ((n-1) +2) ((n-1) +3) + … + 1/6 (0 + 1) (0 + 2) (0 + 3) #

# = 1/24 (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4) #

Niin:

# "" ^ 9 D_5 = 1/24 (9 + 1) (9 + 2) (9 + 3) (9 + 4) = 715 #