Mikä on differentiaaliyhtälön y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 yleinen ratkaisu?

# "Ominaisuusyhtälö on:" #

# z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 #

# => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 #

# => z = 0 "TAI" z ^ 2 - z + 4 = 0 #

# "levy quad. eq. = 1 - 16 = -15 <0" #

# "joten meillä on kaksi monimutkaista ratkaisua, ne ovat" #

#z = (1 pm sqrt (15) i) / 2 #

# "Niinpä homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on:" #

#A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) i x) + #

#C 'exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) i x) #

# = A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

# "Koko yhtälön ratkaisu on" #

# "y = x," #

# "Se on helppo nähdä."

# "Joten täydellinen ratkaisu on:" #

#y (x) = x + A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

Vastaus:

# y = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Selitys:

Meillä on:

# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #

Tai vaihtoehtoisesti:

# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. A

Tämä on kolmas järjestä lineaarinen ei-homogeeninen erilaistusyhtälö, jossa on vakiotekijät. Tavallinen lähestymistapa on löytää ratkaisu, # Y_C # homogeenisen yhtälön avulla tarkastelemalla lisäyhtälöä, joka on polynomiyhtälö johdannaisten kertoimien kanssa, ja sitten löytää itsenäinen erityinen ratkaisu, # Y_p # ei-homogeeninen yhtälö.

Apuyhtälön juuret määrittävät ratkaisun osat, jotka jos lineaarisesti riippumattomia, ratkaisujen superposition muodostavat täydellisen yleisen ratkaisun.

• Oikeat erilliset juuret # m = alfa, beta, … # tuottaa muodoltaan lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja # Y_1 = Ae ^ (alphax) #, # Y_2 = Ole ^ (betax) #, …
• Todelliset toistuvat juuret # M = alfa #, antaa muodon ratkaisun # Y = (Ax + B) e ^ (alphax) # jossa polynomilla on sama aste kuin toisto.
• Monimutkaiset juuret (joiden tulee esiintyä konjugaattiparina) # M = p + -qi # antaa muodon pareittain lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja # Y = e ^ (px) (Acos (qx) + BSIN (qx)) #

Erityinen ratkaisu

Jotta löydettäisiin tietty ratkaisu ei-homogeenisesta yhtälöstä:

# y '' '- y' '+ 4y' = f (x) t kanssa #f (x) = 4 # ….. C

sitten kuin #F (x) # on asteen polynomi #0#, etsimme polynomin ratkaisua, jolla on sama aste, eli lomakkeen #y = a #

Tällainen ratkaisu on kuitenkin jo olemassa CF-liuoksessa, joten sen on otettava huomioon lomakkeen mahdollinen ratkaisu # Y = ax #, Missä vakiot # A # määritetään suoralla korvaamisella ja vertailulla:

eriyttäminen # Y = ax # wRT # X # saamme:

# y '= a #

# y '' = 0 #

# y '' '= 0 #

Näiden tulosten korvaaminen DE: ksi A:

# 0-0 + 4a = 4 => a = 1 #

Ja näin muodostamme erityisen ratkaisun:

# y_p = x #

Yleinen ratkaisu

Joka sitten johtaa A}: n GS: hen

# y (x) = y_c + y_p #

# = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Huomaa, että tämä ratkaisu on #3# integraation vakiot ja #3# lineaarisesti riippumattomat ratkaisut, siis olemassaolon ja ainutlaatuisuuden teorian mukaan niiden superpostio on yleinen ratkaisu