Onko sqrt21 reaaliluku, järkevä numero, kokonaisluku, kokonaisluku, järjetön numero?

Vastaus:

Se on irrationaalinen numero ja siksi todellinen.

Selitys:

Todistakaamme ensin #sqrt (21) # on todellinen luku, itse asiassa kaikkien positiivisten reaalilukujen neliöjuuri on todellinen. Jos # X # on todellinen numero, sitten määrittelemme positiiviset luvut #sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x} #. Tämä tarkoittaa sitä, että tarkastelemme kaikkia todellisia numeroita # Y # niin että # Y ^ 2 <= x # ja ota pienin todellinen määrä, joka on suurempi kuin kaikki nämä # Y #'s, niin sanottu supremum. Ne ovat negatiivisia # Y #ei ole olemassa, koska kaikkien reaalilukujen kohdalla tämän numeron neliön ottaminen johtaa positiiviseen numeroon, ja kaikki positiiviset numerot ovat suurempia kuin negatiiviset luvut.

Kaikille positiivisille numeroille on aina joitakin # Y # joka sopii tilaan # Y ^ 2 <= x #, nimittäin #0#. Lisäksi näihin numeroihin liittyy yläraja, nimittäin # X + 1 #, koska jos # 0 <= y <1 #sitten # X + 1> y #, jos #y> = 1 #sitten #y <= y ^ 2 <= x #, niin # X + 1> y #. Voimme osoittaa, että jokaisella rajaamattomalla reaaliluvuilla on aina ainutlaatuinen reaaliluku, joka toimii ylimmänä, johtuen ns. # RR #. Joten kaikki positiiviset todelliset luvut # X # siellä on todellinen #sqrt (x) #. Voimme myös osoittaa, että tässä tapauksessa #sqrt (x) ^ 2 = x #, mutta jos et halua minua, en todista tätä täällä. Lopuksi huomaamme tämän #sqrt (x)> = 0 #, siitä asti kun #0# on numero, joka sopii edellä mainittuun tilaan.

Nyt on irrationaalinen #sqrt (21) #. Jos se ei olisi irrationaalista (niin järkevää), voisimme kirjoittaa sen #sqrt (21) = a / b # kanssa # A # ja # B # kokonaislukuja ja # A / b # yksinkertaistettu niin paljon kuin mahdollista, mikä tarkoittaa sitä # A # ja # B # ole yhteistä jakajaa lukuun ottamatta #1#. Nyt tämä tarkoittaa sitä # 21 = a ^ 2 / b ^ 2 #.

Nyt käytämme jotain, jota kutsutaan luonnollisten lukujen ensisijaiseksi tekijäksi. Tämä tarkoittaa, että voimme kirjoittaa kaikki positiiviset kokonaisluvut ainutlaatuiseksi prime-numeroksi. varten #21# Tämä on #3*7# ja varten # A # ja # B # tämä on jokin mielivaltainen prime-tuote # A = A_1 * … * a_n # ja # B = b_1 * … * b_m #. Se, että ainoa yhteinen jakaja # A # ja # B # on #1# vastaa sitä tosiasiaa, että # A # ja # B # jaa mitään primejä niiden faktorisoinnissa, joten on olemassa # A_i # ja # B_j # niin että # A_i = b_j #. Se tarkoittaa, että # ^ 2 # ja # B ^ 2 # ei myöskään jaa mitään primejä # ^ 2 = A_1 * A_1 * … * a_n * a_n # ja # B ^ 2 = b_1 * b_1 * … b_m * b_m #., siis ainoa yhteinen jakaja # ^ 2 # ja # B ^ 2 # on #1#. Siitä asti kun # ^ 2 = 21b ^ 2 #, Tämä tarkoittaa # B ^ 2 = 1 #, niin # B = 1 #. Siksi #sqrt (21) = a #. Huomaa, että tämä koskee vain olettaen, että #sqrt (21) # on järkevä.

Nyt voisimme tietysti käydä läpi kaikki koko positiiviset luvut, jotka ovat pienempiä kuin #21# ja tarkista, antako heille neliö #21#, mutta tämä on tylsä menetelmä. Jotta voisimme tehdä sen mielenkiintoisemmalla tavalla, käännymme jälleen primeihimme. Tiedämme sen # ^ 2 = A_1 * A_1 * … * a_n * a_n # ja #21=3*7#, niin # 3 * 7 = A_1 * A_1 * … * a_n * a_n #. Vasemmalla puolella jokainen prime esiintyy vain kerran, oikealla kädellä, jokainen prime esiintyy vähintään kaksi kertaa, ja aina yhtä suuri määrä kertaa (jos # A_1 = a_n # se olisi instaceille vähintään neljä kertaa). Mutta kuten olemme todenneet, nämä tärkeimmät tekijät ovat ainutlaatuisia, joten tämä ei voi olla oikein. Siksi # 21nea ^ 2 #, niin #anesqrt (21) #, eli aikaisempi olettamuksemme #sqrt (21) # sen vuoksi järkevä osoittautuu vääräksi #sqrt (21) # on järjetöntä.

Huomaa, että sama argumentti koskee mitä tahansa positiivista kokonaislukua # X # Prime-faktorisoinnilla, jossa yksi primeistä paljastaa epätasaisen määrän kertoja, koska kokonaisen numeron neliöllä on aina kaikki sen tärkeimmät tekijät, jotka ilmaisevat tasaisen määrän kertoja. Tästä päätellään, että jos # X # on positiivinen kokonaisluku (#x inNN #) on ensisijainen tekijä, joka esiintyy vain epätasaisesti #sqrt (x) # on järjetön.

Olen tietoinen siitä, että tämä todistus saattaa tuntua hieman pitkältä, mutta se käyttää tärkeitä käsitteitä matematiikasta. Luultavasti missään lukion opetussuunnitelmassa tällaisia päättelyjä ei ole otettu mukaan (en ole 100% varma, en tiedä kunkin maailman lukion opetussuunnitelmaa), mutta todellisille matemaatikoille todisteita juttuista on yksi tärkeimmät toimet. Siksi halusin näyttää sinulle, millainen matematiikka takaa sen, että otatte neliöjuurin. Mitä sinun täytyy ottaa pois tästä, on se todella #sqrt (21) # on irrationaalinen numero.