Kolme tankoa, joiden kukin on massa M ja pituus L, yhdistetään yhteen muodostamaan tasasivuinen kolmio. Mikä on sellaisen järjestelmän inertiakseli, joka kulkee akselin läpi, joka kulkee sen massakeskipisteen läpi ja kohtisuorassa kolmion tasoon nähden?

Vastaus:

# 1/2 ML ^ 2 #

Selitys:

Yksittäisen tangon inertin hetki sen keskiosan läpi kulkevan akselin ympäri ja kohtisuorassa siihen nähden

# 1/12 ML ^ 2 #

Tasasivuisen kolmion kummallakin puolella oleva kolmion keskiosan läpi kulkeva akseli on kohtisuorassa sen tasoon nähden

# 1 / 12ML ^ 2 + M (L / (2sqrt3)) ^ 2 = 1/6 ML ^ 2 #

(yhdensuuntaisen akselin lauseella).

Kolmion kulma-akseli tämän akselin ympärillä on sitten

# 3 kertaa 1/6 ML ^ 2 = 1/2 ML ^ 2 #

Olettaen, että tangot ovat ohuita, kunkin sauvan massakeskipisteen sijainti on sauvan keskellä. Koska sauvat muodostavat tasasivuisen kolmion, järjestelmän massapiste on kolmion keskipisteessä.

Päästää # D # olla etäisyys sentroidista mistä tahansa sivusta.

# D / (L / 2) = tan30 #

# => D = L / 2tan30 #

# => D = L / (2sqrt3) # …..(1)

Yksittäisen tangon inertin hetki akselin ympäri, joka kulkee sentroidin läpi, joka on kohtisuorassa kolmiota kohti, kun käytetään rinnakkaista akselia.

#I_ "tanko" = I_ "cm" + Md ^ 2 #

On kolme samankaltaista sauvaa, joten kolmen sauvan inertian kokonaismomentti olisi

#I_ "järjestelmä" = 3 (I_ "cm" + Md ^ 2) #

# => I_ "järjestelmä" = 3I_ "cm" + 3Md ^ 2 # …….(2)

Toinen termi käyttäen (1) on

# 3Md ^ 2 = 3M (L / (2sqrt3)) ^ 2 #

# => 3Md ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # …..(3)

Kuten yhden tangon inertian hetki sen massakeskiön suhteen on

#I_ "cm" = 1/12 ml ^ 2 #

Ensimmäinen termi (2) tulee

# 3I_ "cm" = 3xx1 / 12 ml ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # ….(4)

Käyttämällä (3) ja (4) yhtälö (2) tulee

#I_ "järjestelmä" = 1 / 4ML ^ 2 + 1 / 4ML ^ 2 = 1 / 2ML ^ 2 t