Koe f koveruuden suhteen?

Vastaus:

# F # on kupera sisään # RR #

Selitys:

Ratkaisin sen mielestäni.

# F # on 2 kertaa eriytettävissä # RR # niin # F # ja # F '# ovat jatkuvia # RR #

Meillä on # (F (x)) ^ 3 + 3 f "(x) = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2x + 7 #

Molempien osien erottaminen saadaan

# 3 * (f (x)) ^ 2 f ' '(x) + 3 f'' (x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 # #<=>#

# 3 f '' (x) ((f (x)) ^ 2 + 1) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 #

• #f '(x) ^ 2> = 0 # niin #f '(x) ^ 2 + 1> 0 #

#<=># #f '' (x) = (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) / (3 ((f (x)) ^ 2 + 1)> 0) #

Tarvitsemme lukijan merkin, jotta pidämme uutta toimintoa

#G (x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 # , # X ##sisään## RR #

#G '(x) = e ^ x-cosx + 6x #

Huomaan sen #G '(0) = e ^ 0-cos0 + 6 * 0 = 1-1 + 0 = 0 #

varten # X = π # #=># #G "(π) = e ^ π-cosπ + 6π = e ^ π + 1 + 6π> 0 #

varten # X = -π # #G "(- π) = e ^ (- π) -cos (-π) -6π = 1 / e ^ π + cosπ-6π = 1 / e ^ π-1-6π <0 #

Saamme vihdoin tämän taulukon, jossa näkyy monotonisuus # G #

oletettu # I_1 = (- oo, 0 # ja # I_2 = 0, + oo) #

#G (I_1) = g ((- oo, 0) = g (0), lim_ (xrarr-oo) g (x)) = 3, + oo) #

#G (I_2) = g (0, + oo)) = g (0), lim_ (xrarr + oo) g (x)) = 3, + oo) #

koska

• #lim_ (xrarr-oo) g (x) = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) #

# | Sinx | <= 1 # #<=># # -1 <= - sinx <= 1 # #<=>#

# E ^ x + 3x ^ 2 + 2-1 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2-sinx <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2 + 1 # #<=>#

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 <=> #

# E ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

• Käyttämällä puristus- / sandwich-teoriaa meillä on

#lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 3x) #

Siksi, #lim_ (xrarr-oo) g (x) = + oo #

• #lim_ (xrarr + oo) g (x) = lim_ (xrarr + oo) (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) #

Samalla prosessilla päädymme

# E ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

Kuitenkin, #lim_ (xrarr + oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

Siksi, #lim_ (xrarr + oo) g (x) = + oo #

Alue # G # tulee olemaan:

# R_g = g (D_g) = g (I_1) UUG (I_2) = 3, + oo) #

• # 0! InR_g = 3, + oo) # niin # G # ei ole juurta # RR #

  # G # on jatkuva # RR # ja sillä ei ole ratkaisuja. Siksi, # G # säilyttää kirjautumisen # RR #

Se tarkoittaa

# {(g (x)> 0 "," xεRR), (g (x) <0 "," xεRR):} #

Täten, #G (π) = e ^ π-sinπ + 3π ^ 2 + 2 = e ^ π + 3π ^ 2 + 2> 0 #

Tuloksena #G (x)> 0 #, # X ##sisään## RR #

Ja #f '' (x)> 0 #, # X ##sisään## RR #

#-># # F # on kupera sisään # RR #

Vastaus:

Katso alempaa.

Selitys:

tietty #y = f (x) # käyrän kaarevuussäde on

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') # niin annetaan

# (f ') ^ 3 + 3f' = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2 x + 7 # meillä on

# 3 (f ') ^ 2f' '+ 3f' '= e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # tai

#f '' (1+ (f ') ^ 2) = 1/3 (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # tai

# 1 / (f '' (1+ (f) ^ 2)) = 3 / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # tai

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') = (3 (1+ (f') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) #

nyt analysoidaan #g (x) = e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # meillä on

#min g (x) = 0 # varten #x RR: ssä niin #g (x) ge 0 # ja sitten kaarevuus vuonna

#rho = (3 (1+ (f ') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # ei muuta merkkiä, joten päätämme, että #F (x) # epigrafi on kupera sisään # RR #