Ratkaise kysymys 39?

Vastaus:

B

Selitys:

Ensinnäkin meidän pitäisi hyödyntää sitä, että numeroiden on oltava peräkkäisiä, soittamalla valitsemamme numerot # N-1, n, n + 1 #, missä jos noudatamme rajoituksia # N # täytyy olla välillä #-9# ja #9# osallisuutta.

Toiseksi huomaa, että jos saamme tietyn arvon tietylle # A, b, c #, voimme vaihtaa kyseisten arvojen ympärille, mutta saamme silti saman tuloksen. (Uskon, että tätä kutsutaan permutoituvaksi, mutta unohtakaa oikea termi)

Joten voimme yksinkertaisesti päästää # A = n-1 #,# B = n #,# C = n + 1 #, nyt liitämme sen seuraavaan:

# (A ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 3ABC) / (a + b + c) ^ 2 #

# = ((N-1) ^ 3 + n ^ 3 + (n + 1) ^ 3 + 3 (n-1) (n) (n + 1)) / (n-1 + n + n + 1) ^ 2 #

# = (N ^ 3-3n ^ 2 + 3n-1 + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n ^ 2 + 3n + 1 + 3n (n ^ 2-1)) / (3n) ^ 2 #

# = (N ^ 3 + 3n + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n + 3n ^ 3-3) / (9n ^ 2) #

# = (6n ^ 3 + 6n-3) / (9n ^ 2) #

# = (2n ^ 3 + 2n-1) / (3n ^ 2) #

Nyt meidän ongelmamme on nähdä, mitkä arvot ovat # -9 <= n <= 9 # lauseke antaa kokonaislukuarvot, kuinka monta eri arvoa saamme.

Aion jatkaa ratkaisua erillisessä vastauksessa, jotta se olisi helpompi lukea.

Vastaus:

Osa 2 minun sol'n. Tämä käyttää modulaarista aritmeettista, mutta jos et tunne sitä, on aina mahdollisuus subbingata kaikkiin tarvittaviin arvoihin # N #

Selitys:

Koska lausekkeen on oltava kokonaisluku, alareunan on jaettava ylhäältä täsmälleen. Siten lukijalla tulisi olla kerroin 3. Ja tähän pitäisi käyttää modulaarista aritmeettista.

Tutki, mihin n täyttää: # 2n ^ 3 + 2n-1- = 0 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n- = 1 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n - = - 2 mod3 #

# n ^ 3 + n - = - 1 mod3 #

Nyt asiat:

1. Yritämme # N = 3k #

# LHS = (3k) ^ 3 + 3k #

# = 3 (9k ^ 3 + k) - = 0 mod3 #, joka ei toimi

2. Yritämme # N = 3k + 1 #

# LHS = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = 27k ^ 3 + 27k ^ 2 + 27k + 1 + 3k + 1 #

# - = 2 - = - 1 mod3 #, joka toimii

3. Yritämme # N = 3k-1 #:

# LHS = (3k-1) ^ 3 + (3k-1) #

# = 27k ^ 3-27k ^ 2 + 27k-1 + 3k-1 #

#-=-2-=1#, joka ei toimi

Joten päätämme sen # N # on oltava muotoa # 3k + 1 #, tai yksi enemmän kuin moninkertainen 3. Ottaen huomioon alueemme n, oleminen # -9 <= n <= 9 #, meillä on mahdolliset arvot:

# N = -8, -5, -2,1,4,7 #.

Tässä vaiheessa saatat pystyä käyttämään sitä # N = 3k + 1 #, mutta vain 6 arvoa tarkistaakseni päätin sen sijaan laskea jokaisen sen sijaan ja vain arvon # N # joka toimii # N = 1 #, tuottavat tuloksen #1#.

Lopuksi, ainoa peräkkäisten numeroiden joukko, joka tuottaa kokonaislukutuloksen, on #0,1,2#, antaa #1# näin ollen vastaus on # B #