Oletetaan, että z = x + yi, jossa x ja y ovat todellisia lukuja. Jos (iz-1) / (z-i) on todellinen numero, näytä, että kun (x, y) eivät ole yhtä suuret (0, 1), x ^ 2 + y ^ 2 = 1?

Vastaus:

Katso alla,

Kuten # Z = x + iy #

# (Iz-1) / (z-i) = (i (x + iy) -1) / (x + iy-i) #

= # (Ix-y-1) / (x + i (y-1)) #

= # (IX- (y + 1)) / (x + i (y-1)) xx (x-i (y-1)) / (x-i (y-1)) #

= # ((IX- (y + 1)) (x-i (y-1))) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (Ix ^ 2 + x (y-1) -x (y + 1) + i (y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (X ((y-1) - (y + 1)) + i (x ^ 2 + y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (- 2x + i (x ^ 2 + y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

Kuten # (Iz-1) / (z-i) # on todellinen

# (X ^ 2 + y ^ 2-1) = 0 # ja # X ^ 2 + (y-1) ^ 2! = 0 #

Nyt kuin # X ^ 2 + (y-1) ^ 2 # on kahden neliön summa, se voi olla nolla vain silloin, kun # X = 0 # ja # Y = 1 # toisin sanoen

jos # (X, y) # ei ole #(0,1)#, # X ^ 2 + y ^ 2 = 1 #