Ratkaise differentiaaliyhtälö: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y? Keskustele siitä, millainen differentiaaliyhtälö tämä on ja milloin se voi syntyä?

Vastaus:

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

Selitys:

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y #

paras kirjoitettu

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) + 16y = 0 qquad-kolmio #

joka osoittaa, että tämä on lineaarinen toisen asteen homogeeninen differentiaaliyhtälö

siinä on ominaisuusyhtälö

# r ^ 2 8 r + 16 = 0 #

joka voidaan ratkaista seuraavasti

# (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 #

tämä on toistuva juuri, joten yleinen ratkaisu on muodossa

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

tämä ei ole värähtelevä ja mallinnaa jonkinlaista eksponentiaalista käyttäytymistä, joka riippuu todella A: n ja B: n arvosta. Voidaan arvata, että se voisi olla yritys mallinnaa väestön tai saalistajan / saaliin vuorovaikutusta, mutta en voi todellakaan sanoa mitään hyvin tarkkaa.

se osoittaa epävakautta ja siitä, että voisin todellakin sanoa siitä

Vastaus:

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Selitys:

Differentiaaliyhtälö

# (D ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 #

on lineaarinen homogeeninen vakiokertoimen yhtälö.

Näille yhtälöille on yleinen ratkaisu

#y = e ^ {lambda x} #

Meillä on korvaaminen

# e ^ {lambda x} (lambda ^ 2-8lambda + 16) = 0 #

Tässä # e ^ {lambda x} ne 0 # joten ratkaisujen on noudatettava

# lambda ^ 2-8lambda + 16 = (lambda-4) ^ 2 = 0 #

Ratkaisemme saamme

# Lambda_1 = lambda_2 = 4 #

Kun juuret toistuvat, # d / (d lambda) e ^ {lambda x} # on myös ratkaisu. Jos kyseessä on # N # juuret toistuvat, meillä on ratkaisuja:

#C_i (d ^ i) / (d lambda ^ i) e ^ {lambda x} # varten # I = 1,2, cdots, n #

Joten alkuperäisten olosuhteiden määrän säilyttämiseksi sisällytämme ne itsenäisiin ratkaisuihin.

Tässä tapauksessa meillä on

#y = C_1 e ^ {lambda x} + C_2d / (d lambda) e ^ {lambda x} #

mikä johtaa

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Nämä yhtälöt näkyvät, kun mallinnetaan lineaarisen piirin teoriassa tai lineaarisessa mekaniikassa esiintyviä lineaarisia kerrosparametrijärjestelmiä. Näitä yhtälöitä käsitellään normaalisti käyttämällä operatiivisia algebrallisia menetelmiä, kuten Laplace Transform -menetelmiä