Miten ratkaista 2sinx = cos (x / 3)?

Vastaus:

Lähestymistapamme ovat:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569,51 ^ circ, -192.573 ^ circ tai -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad #

kokonaisluku # K #.

Selitys:

# 2 sin x = cos (x / 3) #

Tämä on melko kova.

Aloitetaan asettamalla # Y = x / 3 # niin # X = 3v # ja korvaa. Sitten voimme käyttää kolminkertaisen kulman kaavaa:

# 2 sin (3y) = cos y #

# 2 (3 sin y - 4 sin ^ 3 y) = cos y #

Olkaamme neliö, joten kirjoitamme kaiken # sin ^ 2 y #. Tämä aiheuttaa todennäköisesti vieraita juuria.

# 4 sin ^ 2y (3 - 4 sin ^ 2y) ^ 2 = cos ^ 2 y = 1 - sin ^ 2 y #

Päästää # s = sin ^ 2 y #. Squared sines kutsutaan levitteet Rational Trigonometryssä.

# 4 s (3 - 4s) ^ 2 = 1 - s #

# 4 s (9 - 24 s + 16 s ^ 2) = 1 - s #

# 64 s ^ 3 - 96 s ^ 2 + 37 s - 1 = 0 #

Se on kuutioyhtälö, jossa on kolme todellista juurta, ehdokkaat, jotka ovat # 3x. # Voisimme käyttää kuutiometriä kaavaa, mutta se johtaa vain joidenkin monimutkaisten numeroiden kuutiojuuriin, jotka eivät ole erityisen hyödyllisiä. Otetaan vain numeerinen ratkaisu:

# s 0.66035 tai s 0.029196 tai s 0.81045 #

#x = 3y = 3 arcsin (pm sqrt {s}) #

Työskentelemme asteina. Mahdolliset likimääräiset ratkaisumme ovat:

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.66035}) noin pm 163.058 ^ circ tai pm 703.058 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.029196}) n. 29.5149 ^ circ tai pm 569.51 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.81045}) n. 192.573 ^ circ tai pm 732.573 ^ circ #

Katsotaanpa jostain näistä töistä. Päästää #e (x) = 2 sin x - cos (x / 3) #

#e (163.058 ^ circ) n. 0,00001 quad # se on ratkaisu.

#e (-163.058 ^ circ) n. -1,17 quad # ei ole ratkaisu.

Selvästi enintään yksi a: sta # Pm # pari toimii.

Kymmenen enemmän mennä.

#e (703.058 ^ circ) noin 0,00001 quad sqrt #

#e (-703.058 ^ circ) quad # Ehei

#e (29.5149 ^ circ) n. 10 ^ {- 6} quad sqrt #

#e (-29.5149 ^ circ) quad # Ehei

#e (569.51 ^ circ) n. 10 ^ {- 4} quad sqrt #

#e (-569.51 ^ circ) quad # Ehei

#e (192.573 ^ circ) noin -8,7 quad # Ehei

#e (-192.573 ^ circ) noin 0,00001 quad sqrt #

#e (732.573 ^ circ) noin -8,7 quad # Ehei

#e (-732.573 ^ circ) noin 0,00001 quad sqrt #

Arcsin mukana tulee # + 360 ^ circ k #, ja tekijä kolmesta tekee sen # 1080 ^ circ k.

OK, likimääräiset ratkaisumme ovat:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569,51 ^ circ, -192.573 ^ circ, -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad # kokonaisluku # K #.