Vastaus:
Tangenttiviiva on yhdensuuntainen # X # akseli, kun rinne (täten # Dy / dx #) on nolla ja se on yhdensuuntainen # Y # akseli, kun rinne (# Dy / dx #) menee # Oo # tai # -Oo #
Selitys:
Aloitamme etsimällä # Dy / dx #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #
# 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 #
# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #
Nyt, # dy / dx = 0 # kun nuimeraattori on #0#, edellyttäen, että tämä ei myöskään tee nimittäjää #0#.
# 2x + y = 0 # kun #y = -2x #
Meillä on nyt kaksi yhtälöä:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
#y = -2x #
Ratkaise (korvaamalla)
# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
käyttämällä #y = -2x #, saamme
Käyrän tangentti on vaakasuora kahdessa kohdassa:
# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # ja # (- sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #
(Huomaa, että nämä parit eivät myöskään muodosta nimittäjää # Dy / dx # yhtä kuin #0#)
Jos haluat löytää pisteet, joissa tangentti on pystysuora, tee nimittäjä # Dy / dx # sama tpo #0# (ilman myös lukijan tekemistä #0#).
Voisimme käydä läpi ratkaisun, mutta yhtälön symmetriaa, jonka saamme:
# X = -2y #, niin
#y = + - sqrt21 / 3 #
ja pisteitä käyrässä, jossa tangentti on pystysuorassa, ovat:
# (- (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # ja # ((2sqrt21) / 3, -sqrt21 / 3) #
Muuten. Koska meillä on tekniikka, tässä on tämän kiertyvän ellipsin kaavio: (Huom # + - sqrt21 / 3 ~~ + - 1.528 # jonka näet kuvassa.)
kaavio {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11.3, 11.2, -5.665, 5.585}
Vastaus:
Käytän vain keskikoulun matematiikkaa
X-akselin suuntaiset tangentit:
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) ja (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Y-akselin suuntaiset tangentit:
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) ja (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Selitys:
Katsoin Jimin vastausta, joka näyttää hyvältä, tavalliselta laskukäsittelyltä. Mutta en voinut tuntea surullista kaikkia keskiasteen koululaisia, jotka olivat siellä Sokratin maalla, jotka haluavat löytää algebrallisen käyrän tangentteja, mutta jotka ovat vielä vuosien päässä laskelmasta.
Onneksi he voivat tehdä nämä ongelmat käyttämällä vain Algebra I.
# X ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
Tämä saattaa olla hieman monimutkaisempi ensimmäiselle esimerkille, mutta mene sen kanssa. Kirjoitamme käyrän niin kuin #f (x, y) = 0 # missä
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
Otetaan # (R, s) # pisteenä # F #. Haluamme tutkia # F # lähellä # (R, s) # niin kirjoitamme
#f (x, y) = f (r + (x-r), s + (y-s)) #
# = (r + (x-r)) ^ 2 + (r + (x-r)) (s + (y-s)) + (s + (y-s)) ^ 2-7 #
Laajennamme, mutta emme laajenna eroja # X-r # ja # Y-t #. Haluamme pitää ne ennallaan, jotta voimme kokeilla joidenkin myöhemmin poistamista.
#f (x, y) = r ^ 2 + 2r (xr) + (xr) ^ 2 + (rs + s (xr) + r (ys) + (xr) (ys)) + s ^ 2 + 2s (ys) + (ys) ^ 2-7 #
# = (r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) (ys) #
# = f (r, s) + (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Sanoimme # (R, s) # on päällä # F # niin #f (r, s) = 0 #.
#f (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Lajittelimme ehdot asteittain, ja voimme kokeilla likiarvoja # F # lähellä # (R, s) # pudottamalla korkeammat asteet. Ajatuksena on, milloin # (X, y) # on lähellä # (R, s) # sitten # X-r # ja # Y-t # ovat pieniä, ja niiden neliöt ja tuote ovat yhä pienempiä.
Luodaan vain joitakin arvoja # F #. Siitä asti kun # (R, s) # on käyrällä, pysyvä likiarvo, joka poistaa kaikki erotermit, on
# f_0 (x, y) = 0 #
Se ei ole erityisen jännittävää, mutta se kertoo oikein läheltä # (R, s) # antaa arvon, joka on lähellä nollaa # F #.
Let's get enemmän mielenkiintoisia ja pitää lineaarinen termejä.
# f_1 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Kun asetamme tämän nollaan, saadaan paras lineaarinen lähentyminen # F # lähellä # (R, s), # kumpi on tangenttiviiva että # F # at # (R, s). # Nyt saamme jonnekin.
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Voimme harkita myös muita arvioita:
# f_2 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 #
# f_3 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Nämä ovat korkeampia järjestys-tangenteja, joita yliopiston matematiikan opiskelijat tuskin koskaan saavat. Olemme jo ylittäneet korkeakoulun laskennan.
On enemmän likiarvoja, mutta minua varoitetaan, että tämä on pitkä. Nyt kun opimme tekemään laskelman käyttämällä vain Algebra I: tä, tee ongelma.
Haluamme löytää kohdat, joissa tangenttiviiva on # X # akseli ja # Y # akselilla.
Löysimme tangenttilinjan osoitteessa # (R, s) # on
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Rinnakkain # X # akseli tarkoittaa yhtälöä #y = teksti {pysyvä} #. Joten kerroin on # X # täytyy olla nolla:
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (R, s) # on käyrällä niin #f (r, s) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
Siitä asti kun # S = -2R # pisteet ovat
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) ja (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Samankaltaisesti y-akselin välineen kanssa # 2s + r = 0 # jonka pitäisi vain vaihtaa x ja y ongelman symmetrian vuoksi. Joten muut kohdat ovat
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) ja (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Tarkistaa.
Miten tarkistaa? Tehdään Alpha-juoni.
kuvaaja x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7, x = -sqrt {7/3}, y = 2 sqrt {7/3}, x = 2sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3} }
Näyttää hyvältä. Laskenta algebrallisista käyristä. Melko hyvä keskikoululle.
