Z on kompleksiluku. Osoita, että yhtälöllä z ^ 4 + z + 2 = 0 ei voi olla juuria z siten, että z <1?

Z on kompleksiluku. Osoita, että yhtälöllä z ^ 4 + z + 2 = 0 ei voi olla juuria z siten, että z <1?
Anonim

# z ^ 4 + z + 2 = 0 #

# z ^ 4 + z = -2 #

#abs (z ^ 4 + z) = abs (- 2) = 2 #

#abs (z ^ 4 + z) = absz abs (z ^ 3 + 1) #

Jos #absz <1 #sitten # absz ^ 3 <1 #, Ja #abs (z ^ 3 + 1) <= abs (z ^ 3) + abs1 <1 + 1 = 2 #

Lopuksi If #absz <1 #sitten

#abs (z ^ 4 + z) = absz abs (z ^ 3 + 1) <1 * 2 <2 # joten emme voi olla

# z ^ 4 + z = -2 #

#abs (z ^ 4 + z) = abs (- 2) = 2 # ratkaisun edellyttämää.

(Voi olla enemmän tyylikkäitä todisteita, mutta tämä toimii.)