Tämä on trigonometrinen todiste yleistetystä tapauksesta, kysymys on yksityiskohdassa?

Vastaus:

Todistus induktiosta on alla.

Selitys:

Todistetaan tämä identiteetti induktiolla.

A. For # N = 1 # meidän on tarkistettava se

# (2cos (2-aseta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Itse asiassa, käyttämällä identiteettiä #cos (2theta) = 2cos ^ 2 (theta) -1 #, näemme sen

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2cos ^ 2 (theta) -1) +1 = 4cos ^ 2 (theta) -1 = #

# = (2cos (theta) -1) * (2cos (theta) +1) #

josta seuraa

# (2cos (2-aseta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Joten, sillä # N = 1 # identiteettimme on totta.

B. Oletetaan, että identiteetti on totta # N #

Joten oletamme, että

# (2cos (2 ^ neta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j 0, n-1) 2cos (2 ^ jeta) -1 #

(symboli # Pi # käytetään tuotteeseen)

C. Käyttämällä edellä olevaa B-olettamusta todistetaan henkilöllisyys # N + 1 #

Meidän on osoitettava, että oletuksesta B seuraa

# (2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j 0, n) 2cos (2 ^ jeta) -1 #

(Huomaa, että oikeanpuoleinen raja kertoimen indeksille on # N # nyt).

TODISTE

Identiteetin käyttäminen #cos (2x) = 2cos ^ 2 (x) -1 # varten # X = 2 ^ ntheta #, # 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 = 2cos (2 * (2 ^ n * theta)) + 1 = #

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 +1 = #

# = 4cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 #

Jaa alku- ja loppulausekkeet # 2cos (theta) + 1 #, saada

# 2cos (2 ^ (n + 1) teta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ neta) -1 * 2cos (2 ^ neta) +1 / 2cos (theta) +1 #

Käytämme nyt oletusta B

# 2cos (2 ^ (n + 1) teta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ neta) -1 * Pi _ (j kohdassa 0, n-1) 2cos (2 ^ jeta) -1 = #

# = Pi _ (j vuonna 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(Huomaa, että indeksin alue on nyt laajennettu # N #).

Viimeinen kaava on täsmälleen sama # N + 1 # alkuperäisenä on # N #. Tämä täydentää todistusta induktiolla, että kaava on totta # N #.

Vastaus:

Lisätietoja on alla olevassa osassa Selitys osassa.

Selitys:

Tämä vastaa sitä, että

# (2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) = (2cos2 ^ nx + 1) #

# "L.H.S." = {(2cosx + 1) (2cosx-1)} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4cos ^ 2x-1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4 ((1 + cos2x) / 2) -1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) …. (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos2x + 1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (4cos ^ 2 (2x) -1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos (2 * 2x) +1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos4x + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos8x + 1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# Vdots #

# = {2cos (2 * 2 ^ (n-1) x) + 1)} #

# = (2cos2 ^ nx + 1) #

# = "R.H.S."

Nauti matematiikasta.